Mostre que as seguintes equações têm pelo menos uma solução nos intervalos dados.
(x-2)^2-ln x=0,[1 ; 2] e [e ; 4]

Passo 1

Vamos resumir o que a questão pede. Temos a equação .
Queremos mostrar que essa equação tem pelo menos uma solução nos intervalos e .
Para isso, vamos usar conceitos de continuidade e o Teorema do Valor Intermediário.

Passo 2

Definimos a função .
Precisamos mostrar que existe pelo menos um no intervalo dado onde .

Passo 3

Primeiro, vamos verificar se é contínua nos intervalos.
A função é um polinômio e, portanto, contínua em todo lugar.
A função é contínua para .
Logo, é contínua nos intervalos considerados.

Passo 4

Segundo o Teorema do Valor Intermediário, se e têm sinais opostos em um intervalo , então existe pelo menos um em tal que .

Passo 5

Vamos calcular f(1) = (1-2)^2 - ln 1 = 1 - 0 = 1 nos extremos do primeiro intervalo f(2) = (2-2)^2 - ln 2 = 0 - ln 2 approx -0,693 :
Para :
Para :
Aqui, e . Como os sinais são opostos, existe pelo menos uma solução em .

Passo 6

Agora, vamos ao segundo intervalo f(e) = (e - 2)^2 - ln e = (e-2)^2 - 1 :
Para f(e) approx 0,515 - 1 = -0,485 < 0 :
f(4) = (4-2)^2 - ln 4 = 4 - ln 4 approx 4 - 1,386 = 2,614 > 0
Sabemos que , então , e .
Então:
Para :
Aqui, e , sinais opostos, então existe pelo menos uma solução em .

Resposta

A equação tem pelo menos uma solução nos intervalos e .

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