Mostre que as seguintes equações têm pelo menos uma solução nos intervalos dados.
e
Passo 1
Vamos resumir o que a questão pede. Temos a equação
.
Queremos mostrar que essa equação tem pelo menos uma solução nos intervalos
e
.
Para isso, vamos usar conceitos de continuidade e o Teorema do Valor Intermediário.
Passo 2
Definimos a função
.
Precisamos mostrar que existe pelo menos um
no intervalo dado onde
.
Passo 3
Primeiro, vamos verificar se
é contínua nos intervalos.
A função
é um polinômio e, portanto, contínua em todo lugar.
A função
é contínua para
.
Logo,
é contínua nos intervalos considerados.
Passo 4
Segundo o Teorema do Valor Intermediário, se
e
têm sinais opostos em um intervalo
, então existe pelo menos um
em
tal que
.
Passo 5
Vamos calcular
nos extremos do primeiro intervalo
:
Para
:
Para
:
Aqui,
e
. Como os sinais são opostos, existe pelo menos uma solução em
.
Passo 6
Agora, vamos ao segundo intervalo
:
Para
:
Sabemos que
, então
, e
.
Então:
Para
:
Aqui,
e
, sinais opostos, então existe pelo menos uma solução em
.
Resposta
A equação
tem pelo menos uma solução nos intervalos
e
.