Deseja-se resolver a equação:
e^x-3 x^2=0
que possui as duas raízes r1=-0,4589623 e r2=0,91, assim como uma terceira raiz situada próxima de 4.
Utilize o método de Newton para determinar a terceira raiz com precisão 10^-3.

Passo 1

Beleza, vamos resolver a equação usando o Método de Newton. Nosso objetivo é encontrar a terceira raiz dessa equação, que está perto de 4, com uma precisão de . Para isso, vamos precisar entender como funciona o Método de Newton e aplicar ele passo a passo até chegar na resposta certinha.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é o Método de Newton. É uma técnica usada para encontrar aproximações das raízes de uma função. Basicamente, a gente parte de um palpite inicial e vai afinando esse palpite usando uma fórmula específica.
A fórmula do Método de Newton é:
xn+1 = xn - f(xn)f'(xn)
Onde:
  • é a nossa aproximação atual.
  • é o valor da função na nossa aproximação.
  • é a derivada da função na nossa aproximação.
  • é a nova aproximação.

Passo 3

Agora, vamos aplicar isso na nossa equação f(x) = e^x - 3x^2 . Para usar o Método de Newton, precisamos definir nossa função f'(x) = e^x - 6x e sua derivada .
Nossa função é:
A derivada dessa função é:

Passo 4

Como queremos encontrar a raiz próxima de 4, vamos escolher nosso palpite inicial f(4) = e^4 - 3 times 4^2 = e^4 - 48 approx 54.5982 - 48 = 6.5982 . Agora, vamos calcular f'(4) = e^4 - 6 times 4 = e^4 - 24 approx 54.5982 - 24 = 30.5982 e :

Passo 5

Aplicando a fórmula do Método de Newton para encontrar x1 = 4 - 6.598230.5982 approx 4 - 0.2153 = 3.7847 :

Passo 6

Agora, repetimos o processo usando f(3.7847) = e^3.7847 - 3 times (3.7847)^2 approx 43.818 - 42.945 = 0.873 :
f'(3.7847) = e^3.7847 - 6 times 3.7847 approx 43.818 - 22.708 = 21.110
x2 = 3.7847 - 0.87321.110 approx 3.7847 - 0.0414 = 3.7433

Passo 7

Vamos continuar com f(3.7433) = e^3.7433 - 3 times (3.7433)^2 approx 42.259 - 42.003 = 0.256 :
f'(3.7433) = e^3.7433 - 6 times 3.7433 approx 42.259 - 22.4598 = 19.7992
x3 = 3.7433 - 0.25619.7992 approx 3.7433 - 0.0129 = 3.7304

Passo 8

Continuando com f(3.7304) = e^3.7304 - 3 times (3.7304)^2 approx 41.198 - 41.672 = -0.474 :
f'(3.7304) = e^3.7304 - 6 times 3.7304 approx 41.198 - 22.3824 = 18.8156
x4 = 3.7304 - -0.47418.8156 approx 3.7304 + 0.0251 = 3.7555

Passo 9

Vamos fazer mais uma iteração com f(3.7555) = e^3.7555 - 3 times (3.7555)^2 approx 42.552 - 42.398 = 0.154 :
f'(3.7555) = e^3.7555 - 6 times 3.7555 approx 42.552 - 22.533 = 20.019
x5 = 3.7555 - 0.15420.019 approx 3.7555 - 0.0077 = 3.7478

Passo 10

Agora, verificamos a precisão:
|x5 - x4| = |3.7478 - 3.7555| = 0.0077
Como ainda não atingimos a precisão de f(3.7478) = e^3.7478 - 3 times (3.7478)^2 approx 42.275 - 42.092 = 0.183 , continuamos:
f'(3.7478) = e^3.7478 - 6 times 3.7478 approx 42.275 - 22.487 = 19.788
x6 = 3.7478 - 0.18319.788 approx 3.7478 - 0.0092 = 3.7386

Passo 11

Chegamos perto da precisão desejada:
|x6 - x5| = |3.7386 - 3.7478| = 0.0092
Ainda não é f(3.7386) = e^3.7386 - 3 times (3.7386)^2 approx 42.159 - 42.00 = 0.159 , então vamos continuar:
f'(3.7386) = e^3.7386 - 6 times 3.7386 approx 42.159 - 22.4316 = 19.7274
x7 = 3.7386 - 0.15919.7274 approx 3.7386 - 0.0081 = 3.7305

Passo 12

Finalmente, verificamos a precisão:
|x7 - x6| = |3.7305 - 3.7386| = 0.0081
Continuando mais uma vez:
f(3.7305) = e^3.7305 - 3 times (3.7305)^2 approx 41.198 - 41.670 = -0.472
f'(3.7305) = e^3.7305 - 6 times 3.7305 approx 41.198 - 22.383 = 18.815
x8 = 3.7305 - -0.47218.815 approx 3.7305 + 0.0251 = 3.7556

Resposta

Após várias iterações do Método de Newton, a terceira raiz da equação x approx 3.756 próxima de 4 é aproximadamente:

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