Deseja-se resolver a equação:
que possui as duas raízes
e
, assim como uma terceira raiz situada próxima de 4.
Utilize o método de Newton para determinar a terceira raiz com precisão
.
Utilize o método de Newton para determinar a terceira raiz com precisão
Passo 1
Beleza, vamos resolver a equação
usando o Método de Newton. Nosso objetivo é encontrar a terceira raiz dessa equação, que está perto de 4, com uma precisão de
. Para isso, vamos precisar entender como funciona o Método de Newton e aplicar ele passo a passo até chegar na resposta certinha.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é o Método de Newton. É uma técnica usada para encontrar aproximações das raízes de uma função. Basicamente, a gente parte de um palpite inicial e vai afinando esse palpite usando uma fórmula específica.
A fórmula do Método de Newton é:
Onde:
-
é a nossa aproximação atual. -
é o valor da função na nossa aproximação. -
é a derivada da função na nossa aproximação. -
é a nova aproximação.
Passo 3
Agora, vamos aplicar isso na nossa equação
. Para usar o Método de Newton, precisamos definir nossa função
e sua derivada
.
Nossa função é:
A derivada dessa função é:
Passo 4
Como queremos encontrar a raiz próxima de 4, vamos escolher nosso palpite inicial
. Agora, vamos calcular
e
:
Passo 5
Aplicando a fórmula do Método de Newton para encontrar
:
Passo 6
Agora, repetimos o processo usando
:
Passo 7
Vamos continuar com
:
Passo 8
Continuando com
:
Passo 9
Vamos fazer mais uma iteração com
:
Passo 10
Agora, verificamos a precisão:
Como ainda não atingimos a precisão de
, continuamos:
Passo 11
Chegamos perto da precisão desejada:
Ainda não é
, então vamos continuar:
Passo 12
Finalmente, verificamos a precisão:
Continuando mais uma vez:
Resposta
Após várias iterações do Método de Newton, a terceira raiz da equação
próxima de 4 é aproximadamente:
Exercícios relacionados
Considere a equação
para responder os itens a seguir:
Determine quantas iterações do método da bissecção seriam necessárias para calcular a raiz próxima de 1 com uma precisão partindo do intervalo [0, 2]. Não faça as iterações.
Determine quantas iterações do método da bissecção seriam necessárias para calcular a raiz próxima de 1 com uma precisão
Seja
, para qual zero de
o método da Bissecção converge quando aplicado aos intervalos a seguir? Encontre as raizes com precisão de 3 algarismos.
Uma variante do método de Newton para resolver equações da forma
pode ser dada pelo método seguinte:
Deseja-se utilizar este método para encontrar a raiz
da equação
. Dê uma condição necessária sobre
para a convergência do método para
.
A concentração da bactéria poluente em um lago diminui de acordo com:
Determine o tempo necessário para que a concentração da bactéria seja reduzida a 15:
Usando o método de Newton com aproximação inicial e erro
.
Usando o método de Newton com aproximação inicial