Deseja-se resolver a equação:
que possui as duas raízes e , assim como uma terceira raiz situada próxima de 4.
Utilize o método de Newton para determinar a terceira raiz com precisão .

Passo 1

Beleza, vamos resolver a equação usando o Método de Newton. Nosso objetivo é encontrar a terceira raiz dessa equação, que está perto de 4, com uma precisão de . Para isso, vamos precisar entender como funciona o Método de Newton e aplicar ele passo a passo até chegar na resposta certinha.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é o Método de Newton. É uma técnica usada para encontrar aproximações das raízes de uma função. Basicamente, a gente parte de um palpite inicial e vai afinando esse palpite usando uma fórmula específica.
A fórmula do Método de Newton é:
Onde:
  • é a nossa aproximação atual.
  • é o valor da função na nossa aproximação.
  • é a derivada da função na nossa aproximação.
  • é a nova aproximação.

Passo 3

Agora, vamos aplicar isso na nossa equação . Para usar o Método de Newton, precisamos definir nossa função e sua derivada .
Nossa função é:
A derivada dessa função é:

Passo 4

Como queremos encontrar a raiz próxima de 4, vamos escolher nosso palpite inicial . Agora, vamos calcular e :

Passo 5

Aplicando a fórmula do Método de Newton para encontrar :

Passo 6

Agora, repetimos o processo usando :

Passo 7

Vamos continuar com :

Passo 8

Continuando com :

Passo 9

Vamos fazer mais uma iteração com :

Passo 10

Agora, verificamos a precisão:
Como ainda não atingimos a precisão de , continuamos:

Passo 11

Chegamos perto da precisão desejada:
Ainda não é , então vamos continuar:

Passo 12

Finalmente, verificamos a precisão:
Continuando mais uma vez:

Resposta

Após várias iterações do Método de Newton, a terceira raiz da equação próxima de 4 é aproximadamente:

Exercícios relacionados

Considere a equação para responder os itens a seguir:
Determine quantas iterações do método da bissecção seriam necessárias para calcular a raiz próxima de 1 com uma precisão partindo do intervalo [0, 2]. Não faça as iterações.
Seja , para qual zero de o método da Bissecção converge quando aplicado aos intervalos a seguir? Encontre as raizes com precisão de 3 algarismos.
Uma variante do método de Newton para resolver equações da forma pode ser dada pelo método seguinte:
Deseja-se utilizar este método para encontrar a raiz da equação . Dê uma condição necessária sobre para a convergência do método para .
A concentração da bactéria poluente em um lago diminui de acordo com:
Determine o tempo necessário para que a concentração da bactéria seja reduzida a 15:
Usando o método de Newton com aproximação inicial e erro .