Considere o sistema linear,
r x1+x2+4 x3+x4=2 x2+2 x3+4 x4=9 2 x1+4 x2-x3=2 5 x1+x2+x3+2 x4=0
(a) Obtenha a decomposição LU da matriz associada aos sistema de equações lineares.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um sistema de equações lineares com quatro incógnitas:
x1 + x2 + 4x3 + x4 = 2 x2 + 2x3 + 4x4 = 9 2x1 + 4x2 - x3 = 2 5x1 + x2 + x3 + 2x4 = 0
O que a gente precisa fazer aqui é encontrar a decomposição LU da matriz dos coeficientes desse sistema. Basicamente, isso significa escrever a matriz como o produto de duas matrizes: uma L (triangular inferior) e uma U (triangular superior). Para isso, vamos usar o método de eliminação de Gauss para transformar a matriz em uma matriz triangular superior , enquanto registramos as operações de linha na matriz .

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a matriz dos coeficientes A = 1 & 1 & 4 & 1 0 & 1 & 2 & 4 2 & 4 & -1 & 0 5 & 1 & 1 & 2 :
L = 1 & 0 & 0 & 0 0 & 1 & 0 & 0 0 & 0 & 1 & 0 0 & 0 & 0 & 1
E a gente também vai iniciar a matriz como a matriz identidade de ordem 4:

Passo 3

Vamos começar a eliminar os elementos abaixo da diagonal principal na primeira coluna. Para isso, vamos usar a primeira linha para zerar os elementos R3 = R3 - 2 times R1 e R3 &= [2, 4, -1, 0] - 2 times [1, 1, 4, 1] &= [2-2, 4-2, -1-8, 0-2] &= [0, 2, -9, -2] da matriz A = 1 & 1 & 4 & 1 0 & 1 & 2 & 4 0 & 2 & -9 & -2 5 & 1 & 1 & 2 .
  • Para a terceira linha ( L = 1 & 0 & 0 & 0 0 & 1 & 0 & 0 2 & 0 & 1 & 0 0 & 0 & 0 & 1 ):
    O elemento R4 = R4 - 5 times R1 . Para zerar isso, fazemos:
    R4 &= [5, 1, 1, 2] - 5 times [1, 1, 4, 1] &= [5-5, 1-5, 1-20, 2-5] &= [0, -4, -19, -3]
    Calculando:
    A = 1 & 1 & 4 & 1 0 & 1 & 2 & 4 0 & 2 & -9 & -2 0 & -4 & -19 & -3
    Agora, a matriz L = 1 & 0 & 0 & 0 0 & 1 & 0 & 0 2 & 0 & 1 & 0 5 & 0 & 0 & 1 fica:
    E atualizamos na posição com o multiplicador usado, que foi 2:
  • Para a quarta linha ( ):
    O elemento . Para zerar isso, fazemos:
    Calculando:
    Agora, a matriz fica:
    E atualizamos na posição com o multiplicador usado, que foi 5:

Passo 4

Agora, vamos eliminar os elementos abaixo da diagonal na segunda coluna. Primeiro, olhamos para o elemento R3 = R3 - 2 times R2 , que já está ótimo para o nosso propósito.
  • Para a terceira linha ( R3 &= [0, 2, -9, -2] - 2 times [0, 1, 2, 4] &= [0-0, 2-2, -9-4, -2-8] &= [0, 0, -13, -10] ):
    O elemento A = 1 & 1 & 4 & 1 0 & 1 & 2 & 4 0 & 0 & -13 & -10 0 & -4 & -19 & -3 . Para zerar isso, fazemos:
    L = 1 & 0 & 0 & 0 0 & 1 & 0 & 0 2 & 2 & 1 & 0 5 & 0 & 0 & 1
    Calculando:
    R4 = R4 + 4 times R2
    Agora, a matriz R4 &= [0, -4, -19, -3] + 4 times [0, 1, 2, 4] &= [0+0, -4+4, -19+8, -3+16] &= [0, 0, -11, 13] fica:
    A = 1 & 1 & 4 & 1 0 & 1 & 2 & 4 0 & 0 & -13 & -10 0 & 0 & -11 & 13
    E atualizamos L = 1 & 0 & 0 & 0 0 & 1 & 0 & 0 2 & 2 & 1 & 0 5 & -4 & 0 & 1 na posição com o multiplicador usado, que foi 2:
  • Para a quarta linha ( ):
    O elemento . Para zerar isso, fazemos:
    Calculando:
    Agora, a matriz fica:
    E atualizamos na posição com o multiplicador usado, que foi -4:

Passo 5

Agora, vamos eliminar o elemento abaixo da diagonal na terceira coluna. Olhamos para o elemento R4 = R4 - ( -11-13 ) times R3 .
  • Para a quarta linha ( R4 = R4 - ( 1113 ) times R3 ):
    O elemento R4 &= [0, 0, -11, 13] - 1113 times [0, 0, -13, -10] &= [0-0, 0-0, -11 - (-11), 13 - ( 11013 )] &= [0, 0, 0, 13 - 11013] &= [0, 0, 0, 169 - 11013] &= [0, 0, 0, 5913] . Para zerar isso, fazemos:
    A = 1 & 1 & 4 & 1 0 & 1 & 2 & 4 0 & 0 & -13 & -10 0 & 0 & 0 & 5913
    Simplificando:
    L = 1 & 0 & 0 & 0 0 & 1 & 0 & 0 2 & 2 & 1 & 0 5 & -4 & 1113 & 1
    Calculando:
    Então, a matriz fica:
    E atualizamos na posição com o multiplicador usado, que foi :

Passo 6

Agora que a matriz U = 1 & 1 & 4 & 1 0 & 1 & 2 & 4 0 & 0 & -13 & -10 0 & 0 & 0 & 5913 está na forma triangular superior L = 1 & 0 & 0 & 0 0 & 1 & 0 & 0 2 & 2 & 1 & 0 5 & -4 & 1113 & 1 , podemos identificar as matrizes e .
Matriz :
Matriz :

Resposta

A decomposição LU da matriz associada ao sistema é:
L = 1 & 0 & 0 & 0 0 & 1 & 0 & 0 2 & 2 & 1 & 0 5 & -4 & 1113 & 1 e U = 1 & 1 & 4 & 1 0 & 1 & 2 & 4 0 & 0 & -13 & -10 0 & 0 & 0 & 5913

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