(a) Obtenha a decomposição LU da matriz associada aos sistema de equações lineares.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um sistema de equações lineares com quatro incógnitas:
O que a gente precisa fazer aqui é encontrar a decomposição LU da matriz dos coeficientes desse sistema. Basicamente, isso significa escrever a matriz como o produto de duas matrizes: uma L (triangular inferior) e uma U (triangular superior). Para isso, vamos usar o método de eliminação de Gauss para transformar a matriz em uma matriz triangular superior , enquanto registramos as operações de linha na matriz .
Passo 2
Primeiro, vamos escrever a matriz dos coeficientes :
E a gente também vai iniciar a matriz como a matriz identidade de ordem 4:
Passo 3
Vamos começar a eliminar os elementos abaixo da diagonal principal na primeira coluna. Para isso, vamos usar a primeira linha para zerar os elementos e da matriz .
Para a terceira linha ():
O elemento . Para zerar isso, fazemos:
Calculando:
Agora, a matriz fica:
E atualizamos na posição com o multiplicador usado, que foi 2:
Para a quarta linha ():
O elemento . Para zerar isso, fazemos:
Calculando:
Agora, a matriz fica:
E atualizamos na posição com o multiplicador usado, que foi 5:
Passo 4
Agora, vamos eliminar os elementos abaixo da diagonal na segunda coluna. Primeiro, olhamos para o elemento , que já está ótimo para o nosso propósito.
Para a terceira linha ():
O elemento . Para zerar isso, fazemos:
Calculando:
Agora, a matriz fica:
E atualizamos na posição com o multiplicador usado, que foi 2:
Para a quarta linha ():
O elemento . Para zerar isso, fazemos:
Calculando:
Agora, a matriz fica:
E atualizamos na posição com o multiplicador usado, que foi -4:
Passo 5
Agora, vamos eliminar o elemento abaixo da diagonal na terceira coluna. Olhamos para o elemento .
Para a quarta linha ():
O elemento . Para zerar isso, fazemos:
Simplificando:
Calculando:
Então, a matriz fica:
E atualizamos na posição com o multiplicador usado, que foi :
Passo 6
Agora que a matriz está na forma triangular superior , podemos identificar as matrizes e .
Matriz :
Matriz :
Resposta
A decomposição LU da matriz associada ao sistema é: