O que a gente precisa fazer aqui é encontrar a decomposição LU da matriz dos coeficientes desse sistema. Basicamente, isso significa escrever a matriz como o produto de duas matrizes: uma L (triangular inferior) e uma U (triangular superior). Para isso, vamos usar o método de eliminação de Gauss para transformar a matriz em uma matriz triangular superior , enquanto registramos as operações de linha na matriz .
E a gente também vai iniciar a matriz como a matriz identidade de ordem 4:
Passo 3
Vamos começar a eliminar os elementos abaixo da diagonal principal na primeira coluna. Para isso, vamos usar a primeira linha para zerar os elementos R3 = R3 - 2 times R1 e R3 &= [2, 4, -1, 0] - 2 times [1, 1, 4, 1] &= [2-2, 4-2, -1-8, 0-2] &= [0, 2, -9, -2] da matriz A = 1 & 1 & 4 & 1 0 & 1 & 2 & 4 0 & 2 & -9 & -2 5 & 1 & 1 & 2 .
Para a terceira linha ( L = 1 & 0 & 0 & 0 0 & 1 & 0 & 0 2 & 0 & 1 & 0 0 & 0 & 0 & 1 ):
O elemento R4 = R4 - 5 times R1 . Para zerar isso, fazemos:
E atualizamos na posição com o multiplicador usado, que foi 2:
Para a quarta linha ():
O elemento . Para zerar isso, fazemos:
Calculando:
Agora, a matriz fica:
E atualizamos na posição com o multiplicador usado, que foi 5:
Passo 4
Agora, vamos eliminar os elementos abaixo da diagonal na segunda coluna. Primeiro, olhamos para o elemento R3 = R3 - 2 times R2 , que já está ótimo para o nosso propósito.
Para a terceira linha ( R3 &= [0, 2, -9, -2] - 2 times [0, 1, 2, 4] &= [0-0, 2-2, -9-4, -2-8] &= [0, 0, -13, -10] ):