Considere o sistema linear,
(a) Obtenha a decomposição LU da matriz associada aos sistema de equações lineares.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um sistema de equações lineares com quatro incógnitas:
O que a gente precisa fazer aqui é encontrar a decomposição LU da matriz dos coeficientes desse sistema. Basicamente, isso significa escrever a matriz como o produto de duas matrizes: uma L (triangular inferior) e uma U (triangular superior). Para isso, vamos usar o método de eliminação de Gauss para transformar a matriz em uma matriz triangular superior , enquanto registramos as operações de linha na matriz .

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a matriz dos coeficientes :
E a gente também vai iniciar a matriz como a matriz identidade de ordem 4:

Passo 3

Vamos começar a eliminar os elementos abaixo da diagonal principal na primeira coluna. Para isso, vamos usar a primeira linha para zerar os elementos e da matriz .
  • Para a terceira linha ( ):
    O elemento . Para zerar isso, fazemos:
    Calculando:
    Agora, a matriz fica:
    E atualizamos na posição com o multiplicador usado, que foi 2:
  • Para a quarta linha ( ):
    O elemento . Para zerar isso, fazemos:
    Calculando:
    Agora, a matriz fica:
    E atualizamos na posição com o multiplicador usado, que foi 5:

Passo 4

Agora, vamos eliminar os elementos abaixo da diagonal na segunda coluna. Primeiro, olhamos para o elemento , que já está ótimo para o nosso propósito.
  • Para a terceira linha ( ):
    O elemento . Para zerar isso, fazemos:
    Calculando:
    Agora, a matriz fica:
    E atualizamos na posição com o multiplicador usado, que foi 2:
  • Para a quarta linha ( ):
    O elemento . Para zerar isso, fazemos:
    Calculando:
    Agora, a matriz fica:
    E atualizamos na posição com o multiplicador usado, que foi -4:

Passo 5

Agora, vamos eliminar o elemento abaixo da diagonal na terceira coluna. Olhamos para o elemento .
  • Para a quarta linha ( ):
    O elemento . Para zerar isso, fazemos:
    Simplificando:
    Calculando:
    Então, a matriz fica:
    E atualizamos na posição com o multiplicador usado, que foi :

Passo 6

Agora que a matriz está na forma triangular superior , podemos identificar as matrizes e .
Matriz :
Matriz :

Resposta

A decomposição LU da matriz associada ao sistema é:

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Resolva o sistema linear abaixo usando o Método de Eliminação de Gauss e a decomposição LU.
Resolva o sistema linear abaixo, utilizando o método de Eliminação de Gauss com pivoteamento e trabalhando com três algarismos significativos,
sabendo-se que o resultado da triangularização da matriz de coeficientes é
com e , ou seja, no passo 1 foi feita a troca de linhas , no passo 2 , a troca e nenhuma troca no passo 3.
Resolva o sistema
e efetue duas etapas de refinamento de solução. Trabalhe com três algarismos significativos. Não esquece do cálculo do resíduo com dupla precisão. O resultado da triangularização deste sistema pelo método de eliminação de Gauss com pivoteamento é
e , ou seja, no passo 1 foi feita a troca de linhas e no passo 2 , a troca .
Quais dos conjuntos abaixo são grupos em relação à operação indicada:
(e) é ímpar multiplicação