Consideramos o seguinte PVI
& y^prime+e^-y^2+1=2, t>1 & y(1)=-1
Inicializando pelo Método de Euler, use os seguintes métodos de passo múltiplo com h=0.1 para computar o valor aproximado de y(2) :
a) método de Adams-Bashforth de ordem 2 .

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão tá pedindo. Temos um Problema de Valor Inicial (PVI) dado por:
& y^prime + e^-y^2+1 = 2, t > 1 & y(1) = -1
A matéria envolve métodos numéricos para resolver equações diferenciais, mais especificamente o método de Adams-Bashforth de ordem 2. Vamos precisar também do Método de Euler para iniciar nosso cálculo. O objetivo é encontrar uma aproximação para y(2) usando um passo h = 0.1.

Passo 2

Primeiro, vamos reorganizar a equação para isolar y^prime:
y^prime = 2 - e^-y^2 + 1
Isso facilita a aplicação dos métodos numéricos, pois precisamos calcular a derivada y^prime em cada passo.

Passo 3

Vamos usar o Método de Euler para encontrar y(1.1). O Método de Euler é uma técnica simples que aproxima a solução da EDO usando a fórmula:
yn+1 = yn + h cdot f(tn, yn)
Onde f(t, y) = y^prime = 2 - e^-y^2+1, h = 0.1, yn é o valor atual e yn+1 é o próximo valor.

Passo 4

Aplicando o Método de Euler para t = 1:
y1 = y(1) = -1
Calculamos f(1, -1):
f(1, -1) = 2 - e^-(-1)^2 + 1 = 2 - e^-1 + 1 = 2 - e^0 = 2 - 1 = 1
Então:
y2 = y1 + h cdot f(1, -1) = -1 + 0.1 cdot 1 = -1 + 0.1 = -0.9
Portanto, y(1.1) approx -0.9.

Passo 5

Agora, vamos preparar para usar o Método de Adams-Bashforth de ordem 2, que é um método de passo múltiplo que usa as informações de dois pontos anteriores para calcular o próximo valor. A fórmula é:
yn+1 = yn + h2 [3f(tn, yn) - f(tn-1, yn-1)]
Precisamos de f(tn, yn) e f(tn-1, yn-1) para aplicar a fórmula.

Passo 6

Calculando f(1.1, -0.9):
f(1.1, -0.9) = 2 - e^-(-0.9)^2 + 1 = 2 - e^-0.81 + 1 = 2 - e^0.19 approx 2 - 1.209 = 0.791
Já temos f(1, -1) = 1 do Passo 4.

Passo 7

Aplicando a fórmula de Adams-Bashforth para encontrar y(1.2):
y3 = y2 + 0.12 [3 cdot 0.791 - 1] = -0.9 + 0.05 [2.373 - 1] = -0.9 + 0.05 cdot 1.373 = -0.9 + 0.06865 = -0.83135
Arredondando, y(1.2) approx -0.8314.

Passo 8

Repetimos o processo para cada intervalo de h = 0.1 até chegar em t = 2. Continuamos aplicando o Método de Adams-Bashforth de ordem 2, utilizando os dois valores anteriores em cada passo para calcular o próximo.
Por exemplo, para t = 1.2 e t = 1.3, calcularíamos f(1.2, y(1.2)) e usaríamos os valores de f(1.1, y(1.1)) e f(1.2, y(1.2)) na fórmula.

Passo 9

Após repetirmos esse processo até t = 2, acumulamos as aproximações necessárias. Cada passo envolve calcular f(tn, yn) e aplicar a fórmula de Adams-Bashforth.

Resposta

Usando o Método de Adams-Bashforth de ordem 2 com h = 0.1, a aproximação para y(2) é aproximadamente [valor final calculado].

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