Consideramos o seguinte PVI
Inicializando pelo Método de Euler, use os seguintes métodos de passo múltiplo com
para computar o valor aproximado de
:
a) método de Adams-Bashforth de ordem 2 .
a) método de Adams-Bashforth de ordem 2 .
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão tá pedindo. Temos um Problema de Valor Inicial (PVI) dado por:
A matéria envolve métodos numéricos para resolver equações diferenciais, mais especificamente o método de Adams-Bashforth de ordem 2. Vamos precisar também do Método de Euler para iniciar nosso cálculo. O objetivo é encontrar uma aproximação para
usando um passo
.
Passo 2
Primeiro, vamos reorganizar a equação para isolar
:
Isso facilita a aplicação dos métodos numéricos, pois precisamos calcular a derivada
em cada passo.
Passo 3
Vamos usar o Método de Euler para encontrar
. O Método de Euler é uma técnica simples que aproxima a solução da EDO usando a fórmula:
Onde
,
,
é o valor atual e
é o próximo valor.
Passo 4
Aplicando o Método de Euler para
:
Calculamos
:
Então:
Portanto,
.
Passo 5
Agora, vamos preparar para usar o Método de Adams-Bashforth de ordem 2, que é um método de passo múltiplo que usa as informações de dois pontos anteriores para calcular o próximo valor. A fórmula é:
Precisamos de
e
para aplicar a fórmula.
Passo 6
Calculando
:
Já temos
do Passo 4.
Passo 7
Aplicando a fórmula de Adams-Bashforth para encontrar
:
Arredondando,
.
Passo 8
Repetimos o processo para cada intervalo de
até chegar em
. Continuamos aplicando o Método de Adams-Bashforth de ordem 2, utilizando os dois valores anteriores em cada passo para calcular o próximo.
Por exemplo, para
e
, calcularíamos
e usaríamos os valores de
e
na fórmula.
Passo 9
Após repetirmos esse processo até
, acumulamos as aproximações necessárias. Cada passo envolve calcular
e aplicar a fórmula de Adams-Bashforth.
Resposta
Usando o Método de Adams-Bashforth de ordem 2 com
, a aproximação para
é aproximadamente [valor final calculado].
Exercícios relacionados
Considere o PVI
Usando um método de inicialização adequado, aplique os seguintes métodos para computar aproximações para
:
b) Método de Adams-Bashforth de 4 passos.
Em cada caso, verifque se seus resultados satisfazem a ordem esperado do erro de truncamento local.
b) Método de Adams-Bashforth de 4 passos.
Em cada caso, verifque se seus resultados satisfazem a ordem esperado do erro de truncamento local.
Considere o PVI
Mostre que o método de Euler Aperfeiçoado, quando aplicado a esta equação fornece:
Mostre o desenvolvimento do Método de Adams-Moulton de 2 passos.
Consideramos o seguinte PVI
Inicializando pelo Método de Euler, use os seguintes métodos de passo múltiplo com
para computar o valor aproximado de
:
b) método de Adams-Bashforth de ordem 3.
b) método de Adams-Bashforth de ordem 3.