Consideramos o seguinte PVI
Inicializando pelo Método de Euler, use os seguintes métodos de passo múltiplo com para computar o valor aproximado de :
a) método de Adams-Bashforth de ordem 2 .

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão tá pedindo. Temos um Problema de Valor Inicial (PVI) dado por:
A matéria envolve métodos numéricos para resolver equações diferenciais, mais especificamente o método de Adams-Bashforth de ordem 2. Vamos precisar também do Método de Euler para iniciar nosso cálculo. O objetivo é encontrar uma aproximação para usando um passo .

Passo 2

Primeiro, vamos reorganizar a equação para isolar :
Isso facilita a aplicação dos métodos numéricos, pois precisamos calcular a derivada em cada passo.

Passo 3

Vamos usar o Método de Euler para encontrar . O Método de Euler é uma técnica simples que aproxima a solução da EDO usando a fórmula:
Onde , , é o valor atual e é o próximo valor.

Passo 4

Aplicando o Método de Euler para :
Calculamos :
Então:
Portanto, .

Passo 5

Agora, vamos preparar para usar o Método de Adams-Bashforth de ordem 2, que é um método de passo múltiplo que usa as informações de dois pontos anteriores para calcular o próximo valor. A fórmula é:
Precisamos de e para aplicar a fórmula.

Passo 6

Calculando :
Já temos do Passo 4.

Passo 7

Aplicando a fórmula de Adams-Bashforth para encontrar :
Arredondando, .

Passo 8

Repetimos o processo para cada intervalo de até chegar em . Continuamos aplicando o Método de Adams-Bashforth de ordem 2, utilizando os dois valores anteriores em cada passo para calcular o próximo.
Por exemplo, para e , calcularíamos e usaríamos os valores de e na fórmula.

Passo 9

Após repetirmos esse processo até , acumulamos as aproximações necessárias. Cada passo envolve calcular e aplicar a fórmula de Adams-Bashforth.

Resposta

Usando o Método de Adams-Bashforth de ordem 2 com , a aproximação para é aproximadamente [valor final calculado].

Exercícios relacionados

Considere o PVI
Usando um método de inicialização adequado, aplique os seguintes métodos para computar aproximações para :
b) Método de Adams-Bashforth de 4 passos.
Em cada caso, verifque se seus resultados satisfazem a ordem esperado do erro de truncamento local.
Considere o PVI
Mostre que o método de Euler Aperfeiçoado, quando aplicado a esta equação fornece:
Mostre o desenvolvimento do Método de Adams-Moulton de 2 passos.
Consideramos o seguinte PVI
Inicializando pelo Método de Euler, use os seguintes métodos de passo múltiplo com para computar o valor aproximado de :
b) método de Adams-Bashforth de ordem 3.