Considere o PVI
Mostre que o método de Euler Aperfeiçoado, quando aplicado a esta equação fornece:

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício tá pedindo pra gente resolver um problema de valor inicial (PVI) usando o Método de Euler Aperfeiçoado. A equação que a gente tem é:
O Método de Euler Aperfeiçoado é uma técnica numérica pra aproximar soluções de equações diferenciais. A gente vai precisar entender como esse método funciona pra chegar na expressão final que o exercício pediu.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar rapidamente o que é o Método de Euler Aperfeiçoado. Ele é uma versão mais precisa do Método de Euler básico. A ideia é usar uma estimativa melhor da inclinação da função no intervalo que a gente tá analisando.
A fórmula geral do Método de Euler Aperfeiçoado é:
Aqui, é o tamanho do passo (quanto a gente vai avançar em cada iteração), é a função da nossa equação diferencial (no caso, ), e é a aproximação da solução no ponto .

Passo 3

Vamos aplicar essa fórmula no nosso caso específico. Nossa equação é , então .
Substituindo na fórmula do Método de Euler Aperfeiçoado:
Simplificando dentro dos parênteses:

Passo 4

Agora, vamos fatorar na expressão:
Distribuindo :
Então, temos a relação de recorrência:

Passo 5

Agora, vamos resolver essa relação de recorrência. A ideia é expressar em função de .
Como , podemos escrever:
Para :
E assim por diante, percebemos que cada passo multiplica pelo mesmo fator.

Passo 6

Pelo padrão observado, podemos generalizar para qualquer :
Então, para :

Resposta

Portanto, aplicando o Método de Euler Aperfeiçoado à equação dada, a solução fica:

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Considere o PVI
Usando um método de inicialização adequado, aplique os seguintes métodos para computar aproximações para :
a) Método de Adams-Bashforth de 2 passos.
Em cada caso, verifque se seus resultados satisfazem a ordem esperado do erro de truncamento local.
Considere o PVI
Repita o item (a), usando agora o método de Euler Aperfeiçoado.
Considere o PVI
Usando um método de inicialização adequado, aplique os seguintes métodos para computar aproximações para :
b) Método de Adams-Bashforth de 4 passos.
Em cada caso, verifque se seus resultados satisfazem a ordem esperado do erro de truncamento local.
Consideramos o seguinte PVI
Inicializando pelo Método de Euler, use os seguintes métodos de passo múltiplo com para computar o valor aproximado de :
a) método de Adams-Bashforth de ordem 2 .