Considere o PVI
Mostre que o método de Euler Aperfeiçoado, quando aplicado a esta equação fornece:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício tá pedindo pra gente resolver um problema de valor inicial (PVI) usando o Método de Euler Aperfeiçoado. A equação que a gente tem é:
O Método de Euler Aperfeiçoado é uma técnica numérica pra aproximar soluções de equações diferenciais. A gente vai precisar entender como esse método funciona pra chegar na expressão final que o exercício pediu.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar rapidamente o que é o Método de Euler Aperfeiçoado. Ele é uma versão mais precisa do Método de Euler básico. A ideia é usar uma estimativa melhor da inclinação da função no intervalo que a gente tá analisando.
A fórmula geral do Método de Euler Aperfeiçoado é:
Aqui,
é o tamanho do passo (quanto a gente vai avançar em cada iteração),
é a função da nossa equação diferencial (no caso,
), e
é a aproximação da solução no ponto
.
Passo 3
Vamos aplicar essa fórmula no nosso caso específico. Nossa equação é
, então
.
Substituindo na fórmula do Método de Euler Aperfeiçoado:
Simplificando dentro dos parênteses:
Passo 4
Agora, vamos fatorar
na expressão:
Distribuindo
:
Então, temos a relação de recorrência:
Passo 5
Agora, vamos resolver essa relação de recorrência. A ideia é expressar
em função de
.
Como
, podemos escrever:
Para
:
E assim por diante, percebemos que cada passo multiplica pelo mesmo fator.
Passo 6
Pelo padrão observado, podemos generalizar para qualquer
:
Então, para
:
Resposta
Portanto, aplicando o Método de Euler Aperfeiçoado à equação dada, a solução fica:
Exercícios relacionados
Considere o PVI
Usando um método de inicialização adequado, aplique os seguintes métodos para computar aproximações para
:
a) Método de Adams-Bashforth de 2 passos.
Em cada caso, verifque se seus resultados satisfazem a ordem esperado do erro de truncamento local.
a) Método de Adams-Bashforth de 2 passos.
Em cada caso, verifque se seus resultados satisfazem a ordem esperado do erro de truncamento local.
Considere o PVI
Repita o item (a), usando agora o método de Euler Aperfeiçoado.
Considere o PVI
Usando um método de inicialização adequado, aplique os seguintes métodos para computar aproximações para
:
b) Método de Adams-Bashforth de 4 passos.
Em cada caso, verifque se seus resultados satisfazem a ordem esperado do erro de truncamento local.
b) Método de Adams-Bashforth de 4 passos.
Em cada caso, verifque se seus resultados satisfazem a ordem esperado do erro de truncamento local.
Consideramos o seguinte PVI
Inicializando pelo Método de Euler, use os seguintes métodos de passo múltiplo com
para computar o valor aproximado de
:
a) método de Adams-Bashforth de ordem 2 .
a) método de Adams-Bashforth de ordem 2 .