Considere o PVI
l y^prime=y y(0)=1
Mostre que o método de Euler Aperfeiçoado, quando aplicado a esta equação fornece:
yi+1=(1+h+h^2 / 2)^i+1

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício tá pedindo pra gente resolver um problema de valor inicial (PVI) usando o Método de Euler Aperfeiçoado. A equação que a gente tem é:
l y^prime=y y(0)=1
O Método de Euler Aperfeiçoado é uma técnica numérica pra aproximar soluções de equações diferenciais. A gente vai precisar entender como esse método funciona pra chegar na expressão final que o exercício pediu.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar rapidamente o que é o Método de Euler Aperfeiçoado. Ele é uma versão mais precisa do Método de Euler básico. A ideia é usar uma estimativa melhor da inclinação da função no intervalo que a gente tá analisando.
A fórmula geral do Método de Euler Aperfeiçoado é:
yi+1 = yi + h2 ( f(ti, yi) + f(ti+1, yi + h f(ti, yi)) )
Aqui, é o tamanho do passo (quanto a gente vai avançar em cada iteração), é a função da nossa equação diferencial (no caso, ), e é a aproximação da solução no ponto .

Passo 3

Vamos aplicar essa fórmula no nosso caso específico. Nossa equação é yi+1 = yi + h2 ( yi + ( yi + h yi ) ) , então yi+1 = yi + h2 ( yi + yi + h yi ) = yi + h2 ( 2yi + h yi ) .
Substituindo na fórmula do Método de Euler Aperfeiçoado:
Simplificando dentro dos parênteses:

Passo 4

Agora, vamos fatorar yi+1 = yi + h2 cdot yi (2 + h) = yi ( 1 + h2 (2 + h) ) na expressão:
yi+1 = yi ( 1 + h + h^22 )
Distribuindo yi+1 = (1 + h + h^22) yi :
Então, temos a relação de recorrência:

Passo 5

Agora, vamos resolver essa relação de recorrência. A ideia é expressar y1 = (1 + h + h^22) y0 = (1 + h + h^22)^1 em função de y2 = (1 + h + h^22) y1 = (1 + h + h^22)^2 .
Como , podemos escrever:
Para :
E assim por diante, percebemos que cada passo multiplica pelo mesmo fator.

Passo 6

Pelo padrão observado, podemos generalizar para qualquer yi = (1 + h + h^22)^i :
yi+1 = (1 + h + h^22)^i+1
Então, para :

Resposta

Portanto, aplicando o Método de Euler Aperfeiçoado à equação dada, a solução fica:
yi+1 = (1 + h + h^22)^i+1

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