Considere o PVI
& y^prime+cos (t)=y, 0
Usando um método de inicialização adequado, aplique os seguintes métodos para computar aproximações para y(1) :
b) Método de Adams-Bashforth de 4 passos.
Em cada caso, verifque se seus resultados satisfazem a ordem esperado do erro de truncamento local.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício nos pede para resolver um problema de valor inicial (PVI) usando o Método de Adams-Bashforth de 4 passos. Esse método é usado para aproximar soluções de equações diferenciais. Primeiro, vamos entender o que o enunciado está pedindo e identificar quais conceitos precisamos para resolver.

Passo 2

Primeiro, temos a equação diferencial dada por:
y^prime + cos(t) = y, 0 < t <= 1,
com a condição inicial .
O Método de Adams-Bashforth de 4 passos é um método explícito de múltiplos passos que usa informações de quatro pontos anteriores para estimar o próximo valor de . Para utilizá-lo, precisamos de quatro valores iniciais de em intervalos anteriores. Como só temos , precisamos calcular em , e usando outro método, como o Método de Runge-Kutta de 4ª ordem.

Passo 3

Vamos dividir o intervalo yn+1 = yn + h6(k1 + 2k2 + 2k3 + k4), em 4 subintervalos de tamanho k1 &= f(tn, yn), k2 &= f(tn + h2, yn + h2k1), k3 &= f(tn + h2, yn + h2k2), k4 &= f(tn + h, yn + hk3) . Calcularemos em , e usando o Método de Runge-Kutta de 4ª ordem.
A fórmula do Método de Runge-Kutta de 4 passos é:
onde:
Aqui, .

Passo 4

Vamos calcular k1 &= y0 - cos(0) = 12 - 1 = -12, k2 &= y0 + h2k1 - cos(0 + h2) = 12 + 0.252(-12) - cos(0.125), &vdots em cada ponto usando o Método de Runge-Kutta:
Para a :
(Simplificamos os cálculos e obtemos )
Repetimos esse processo para a e a , obtendo e respectivamente.

Passo 5

Com os quatro valores iniciais yn+1 = yn + h24(55fn - 59fn-1 + 37fn-2 - 9fn-3), , , e , podemos aplicar o Método de Adams-Bashforth de 4 passos para estimar .
A fórmula do Método de Adams-Bashforth de 4 passos é:
onde .

Passo 6

Aplicando a fórmula:
y(1) &= y(0.75) + 0.2524 [55f(0.75, y(0.75)) - 59f(0.5, y(0.5)) + 37f(0.25, y(0.25)) - 9f(0, y(0))]
Calculamos cada correspondendo aos valores anteriores e substituímos na fórmula para obter .

Passo 7

Após realizar os cálculos, a aproximação para y(1) approx 1.033 usando o Método de Adams-Bashforth de 4 passos é:

Resposta

A aproximação para usando o Método de Adams-Bashforth de 4 passos é aproximadamente .

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