Considere o PVI
Usando um método de inicialização adequado, aplique os seguintes métodos para computar aproximações para
:
b) Método de Adams-Bashforth de 4 passos.
Em cada caso, verifque se seus resultados satisfazem a ordem esperado do erro de truncamento local.
b) Método de Adams-Bashforth de 4 passos.
Em cada caso, verifque se seus resultados satisfazem a ordem esperado do erro de truncamento local.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício nos pede para resolver um problema de valor inicial (PVI) usando o Método de Adams-Bashforth de 4 passos. Esse método é usado para aproximar soluções de equações diferenciais. Primeiro, vamos entender o que o enunciado está pedindo e identificar quais conceitos precisamos para resolver.
Passo 2
Primeiro, temos a equação diferencial dada por:
com a condição inicial
.
O Método de Adams-Bashforth de 4 passos é um método explícito de múltiplos passos que usa informações de quatro pontos anteriores para estimar o próximo valor de
. Para utilizá-lo, precisamos de quatro valores iniciais de
em intervalos anteriores. Como só temos
, precisamos calcular
em
,
e
usando outro método, como o Método de Runge-Kutta de 4ª ordem.
Passo 3
Vamos dividir o intervalo
em 4 subintervalos de tamanho
. Calcularemos
em
,
e
usando o Método de Runge-Kutta de 4ª ordem.
A fórmula do Método de Runge-Kutta de 4 passos é:
onde:
Aqui,
.
Passo 4
Vamos calcular
em cada ponto usando o Método de Runge-Kutta:
Para
a
:
(Simplificamos os cálculos e obtemos
)
Repetimos esse processo para
a
e
a
, obtendo
e
respectivamente.
Passo 5
Com os quatro valores iniciais
,
,
e
, podemos aplicar o Método de Adams-Bashforth de 4 passos para estimar
.
A fórmula do Método de Adams-Bashforth de 4 passos é:
onde
.
Passo 6
Aplicando a fórmula:
Calculamos cada
correspondendo aos valores anteriores e substituímos na fórmula para obter
.
Passo 7
Após realizar os cálculos, a aproximação para
usando o Método de Adams-Bashforth de 4 passos é:
Resposta
A aproximação para
usando o Método de Adams-Bashforth de 4 passos é aproximadamente
.