Mostre o desenvolvimento do Método de Adams-Moulton de 2 passos.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para mostrar o desenvolvimento do Método de Adams-Moulton de 2 passos. Esse método faz parte dos métodos de resolução de equações diferenciais ordinárias (EDOs), especificamente os métodos multistep. Para resolver isso, vamos precisar entender algumas coisas básicas sobre métodos numéricos para EDOs, especialmente os métodos de Adams-Moulton. Vamos desenvolver passo a passo para deixar tudo claro!

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é uma equação diferencial ordinária (EDO). É uma equação que relaciona uma função desconhecida e suas derivadas. Por exemplo:
y' = f(t, y)
O objetivo é encontrar a função que satisfaz essa equação.

Passo 3

Agora, os métodos de Adams-Moulton são métodos multistep, ou seja, usam várias pontas anteriores para calcular a próxima. Especificamente, o método de Adams-Moulton de 2 passos utiliza informações de duas estimativas anteriores. Ele é um método implícito, o que significa que a equação que precisamos resolver para encontrar envolve em ambos os lados.

Passo 4

Para desenvolver o método de Adams-Moulton de 2 passos, começamos com a fórmula geral do método de Adams-Moulton de yn+1 = yn + h [ beta0 fn+1 + beta1 fn + beta2 fn-1 + dots + betak fn+1-k ] passos:
Onde:
  • é o passo de integração,
  • ,
  • são coeficientes que precisamos determinar.

Passo 5

Para o caso de 2 passos ( yn+1 = yn + h [ beta0 fn+1 + beta1 fn + beta2 fn-1 ] ), a fórmula fica:
Nosso objetivo é encontrar os coeficientes que garantem que o método seja preciso.

Passo 6

Para determinar esses coeficientes, usamos a regra de integração numérica baseada em polinômios interpoladores. Especificamente, vamos aproximar a integral de integraltn^tn+1 f(t, y(t)) dt de para usando um polinômio que interpola os pontos e .
A integral exata é:
Queremos aproximar essa integral usando os valores de que já temos.

Passo 7

Vamos usar a regra do trapézio estendida. Para o método de 2 passos, a aproximação fica:
integraltn^tn+1 f(t, y(t)) dt approx h2 [ fn+1 + fn ] + h2 [ fn - fn-1 ]
Simplificando, obtemos:
integraltn^tn+1 f(t, y(t)) dt approx h2 [ 3fn - fn-1 ] + h2 fn+1

Passo 8

Agora, substituímos essa aproximação na fórmula geral do método de Adams-Moulton de 2 passos:
yn+1 = yn + h2 [ fn+1 + 3fn - fn-1 ]
Isso nos dá os coeficientes:
beta0 = 12, beta1 = 32, beta2 = -12

Resposta

O Método de Adams-Moulton de 2 passos desenvolvido é dado por:
yn+1 = yn + h2 [ fn+1 + 3fn - fn-1 ]

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