Utilize manipulação algébrica para mostrar que cada uma das funções a seguir tem um ponto fixo em precisamente quando , em que .
(d)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente usar manipulação algébrica para mostrar que a função tem um ponto fixo em exatamente quando , onde . Isso está relacionado ao estudo de funções e pontos fixos, que são pontos onde .

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa um ponto fixo. Um ponto fixo de uma função é aquele que, quando aplicamos a função, retorna o próprio valor de . Ou seja, .

Passo 3

Agora, vamos escrever a condição de ponto fixo para a função :
Substituindo a expressão de na equação:

Passo 4

Vamos simplificar essa equação. Primeiro, subtraímos de ambos os lados:
Isso simplifica para:

Passo 5

Para que a fração seja igual a zero, o numerador deve ser zero (desde que o denominador não seja zero). Portanto:

Passo 6

Observamos que essa é exatamente a expressão da função . Ou seja:

Resposta

Assim, mostramos que se e somente se .

Exercícios relacionados

Considere o problema de achar zero de uma função qualquer e o método da bissecção e o método do ponto fixo para resolver este problema.
(b) Qual teoricamente converge mais rápido para a solução? Justifique sua resposta.
Considerando agora , use seu código anterior para mostrar que
para qualquer .
Use a iteração do ponto fixo para localizar a raiz de
Use a aproximação inicial e itere até que .
Utilize manipulação algébrica para mostrar que cada uma das funções a seguir tem um ponto fixo em precisamente quando , em que .
©