Utilize manipulação algébrica para mostrar que cada uma das funções a seguir tem um ponto fixo em precisamente quando , em que .
(d)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente usar manipulação algébrica para mostrar que a função tem um ponto fixo em exatamente quando , onde . Isso está relacionado ao estudo de funções e pontos fixos, que são pontos onde .
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa um ponto fixo. Um ponto fixo de uma função é aquele que, quando aplicamos a função, retorna o próprio valor de . Ou seja, .
Passo 3
Agora, vamos escrever a condição de ponto fixo para a função :
Substituindo a expressão de na equação:
Passo 4
Vamos simplificar essa equação. Primeiro, subtraímos de ambos os lados:
Isso simplifica para:
Passo 5
Para que a fração seja igual a zero, o numerador deve ser zero (desde que o denominador não seja zero). Portanto:
Passo 6
Observamos que essa é exatamente a expressão da função . Ou seja: