Utilize manipulação algébrica para mostrar que cada uma das funções a seguir tem um ponto fixo em p precisamente quando f(p)=0, em que f(x)=x^4+2 x^2-x-3.
(d) g4(x)=x-x^4+2 x^2-x-34 x^3+4 x-1

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente usar manipulação algébrica para mostrar que a função tem um ponto fixo em exatamente quando , onde . Isso está relacionado ao estudo de funções e pontos fixos, que são pontos onde .

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa um ponto fixo. Um ponto fixo de uma função é aquele que, quando aplicamos a função, retorna o próprio valor de . Ou seja, .

Passo 3

Agora, vamos escrever a condição de ponto fixo para a função g4(p) = p :
p - p^4 + 2p^2 - p - 34p^3 + 4p - 1 = p
Substituindo a expressão de na equação:

Passo 4

Vamos simplificar essa equação. Primeiro, subtraímos p - p^4 + 2p^2 - p - 34p^3 + 4p - 1 - p = 0 de ambos os lados:
- p^4 + 2p^2 - p - 34p^3 + 4p - 1 = 0
Isso simplifica para:

Passo 5

Para que a fração seja igual a zero, o numerador deve ser zero (desde que o denominador não seja zero). Portanto:
p^4 + 2p^2 - p - 3 = 0

Passo 6

Observamos que essa é exatamente a expressão da função f(p) = p^4 + 2p^2 - p - 3 = 0 . Ou seja:

Resposta

Assim, mostramos que se e somente se .

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