Considere o problema de achar zero de uma função qualquer e o método da bissecção e o método do ponto fixo para resolver este problema.
(b) Qual teoricamente converge mais rápido para a solução? Justifique sua resposta.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede pra gente comparar dois métodos usados para encontrar o zero de uma função : o método da bissecção e o método do ponto fixo. A gente vai precisar entender como cada um desses métodos funciona e comparar a rapidez com que cada um chega na solução, ou seja, qual deles converge mais rápido teoricamente.
Passo 2
Primeiro, vamos falar do método da bissecção. Este método é bem intuitivo: ele começa com um intervalo onde sabemos que a função muda de sinal (ou seja, tem um zero ali dentro). A cada passo, ele divide esse intervalo ao meio e escolhe o subintervalo onde a função ainda muda de sinal. Repetindo esse processo, a gente vai se aproximando cada vez mais do zero da função. A vantagem é que ele sempre converge, mas a taxa de convergência dele é linear, o que significa que a precisão aumenta de forma constante, mas não muito rápida.
Passo 3
Agora, o método do ponto fixo funciona de maneira um pouco diferente. A ideia é reescrever a equação como , onde é uma função que depende de . A gente começa com um palpite inicial e vai aplicando a função repetidamente, ou seja, . Se tudo der certo, as iterações vão se aproximando do ponto fixo, que é o zero da função . A taxa de convergência aqui depende de como a função está escolhida. Se for bem escolhida, o método pode ter uma taxa de convergência superlinear ou até quadrática, o que significa que ele pode chegar na solução muito mais rápido que a bissecção.
Passo 4
Comparando os dois métodos, o método da bissecção tem uma taxa de convergência linear fixa, enquanto o método do ponto fixo pode ter uma taxa de convergência maior, dependendo de como a função é escolhida e das propriedades da função . Isso significa que, em teoria, se tudo estiver bem configurado, o método do ponto fixo pode encontrar a solução mais rápido que a bissecção.
Resposta
O método do ponto fixo teoricamente converge mais rápido para a solução do que o método da bissecção. Isso ocorre porque, dependendo da escolha da função , o método do ponto fixo pode ter uma taxa de convergência superlinear ou quadrática, superando a taxa linear do método da bissecção.