(a) Determinar o valor aproximado de usando o polinômio de interpolação de Newton sobre três pontos. (Escolha os pontos mais próximos de para fazer a interpolação).
(b) Calcular um limitante superior para o erro.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! Aqui, a gente vai trabalhar com interpolação polinomial de Newton, que é uma técnica para encontrar um polinômio que passa por pontos específicos de uma tabela. No nosso caso, queremos aproximar o valor de usando três pontos próximos de da tabela fornecida. Também vamos calcular um limite superior para o erro dessa aproximação.
Passo 2
Primeiro, vamos escolher os três pontos mais próximos de na tabela. Olhando os valores de , percebemos que os mais próximos são , e . Esses pontos são:
Passo 3
Agora, vamos montar a diferença dividida de Newton. Isso ajuda a construir o polinômio de interpolação. A fórmula geral para as diferenças divididas é:
Vamos calcular passo a passo:
Diferenças de primeira ordem:
Diferença de segunda ordem:
Passo 4
Com as diferenças divididas calculadas, podemos montar o polinômio de interpolação de Newton. A fórmula geral do polinômio de Newton com três pontos é:
Substituindo os valores que temos:
Passo 5
Agora vamos substituir no polinômio para encontrar a aproximação de :
Calculando cada parte:
Passo 6
Agora, vamos calcular um limitante superior para o erro da nossa aproximação. A fórmula para o erro na interpolação de Newton é:
Onde:
é um limite para a -ésima derivada da função no intervalo.
é o grau do polinômio (neste caso, ).
são os pontos usados na interpolação.
Para a função , a terceira derivada é:
No intervalo próximo a , o valor máximo de ocorre em mínimo, que é . Então:
Agora, substituindo na fórmula do erro:
Resposta
(a) O valor aproximado de usando o polinômio de interpolação de Newton é aproximadamente 1.0583.
(b) Um limitante superior para o erro dessa aproximação é .