Considerando a função tabelada:
1.00 1.10 1.15 1.25 1.30
1.00000 1.04881 1.07238 1.11803 1.14018
(a) Determinar o valor aproximado de usando o polinômio de interpolação de Newton sobre três pontos. (Escolha os pontos mais próximos de para fazer a interpolação).
(b) Calcular um limitante superior para o erro.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! Aqui, a gente vai trabalhar com interpolação polinomial de Newton, que é uma técnica para encontrar um polinômio que passa por pontos específicos de uma tabela. No nosso caso, queremos aproximar o valor de usando três pontos próximos de da tabela fornecida. Também vamos calcular um limite superior para o erro dessa aproximação.

Passo 2

Primeiro, vamos escolher os três pontos mais próximos de na tabela. Olhando os valores de , percebemos que os mais próximos são , e . Esses pontos são:

Passo 3

Agora, vamos montar a diferença dividida de Newton. Isso ajuda a construir o polinômio de interpolação. A fórmula geral para as diferenças divididas é:
Vamos calcular passo a passo:
  • Diferenças de primeira ordem:
  • Diferença de segunda ordem:

Passo 4

Com as diferenças divididas calculadas, podemos montar o polinômio de interpolação de Newton. A fórmula geral do polinômio de Newton com três pontos é:
Substituindo os valores que temos:

Passo 5

Agora vamos substituir no polinômio para encontrar a aproximação de :
Calculando cada parte:

Passo 6

Agora, vamos calcular um limitante superior para o erro da nossa aproximação. A fórmula para o erro na interpolação de Newton é:
Onde:
  • é um limite para a -ésima derivada da função no intervalo.
  • é o grau do polinômio (neste caso, ).
  • são os pontos usados na interpolação.
Para a função , a terceira derivada é:
No intervalo próximo a , o valor máximo de ocorre em mínimo, que é . Então:
Agora, substituindo na fórmula do erro:

Resposta

(a) O valor aproximado de usando o polinômio de interpolação de Newton é aproximadamente 1.0583.
(b) Um limitante superior para o erro dessa aproximação é .

Exercícios relacionados

Resolver os sistemas lineares da abaixo utilizando os métodos de Jacobi e de Gauss-Seidel . Utilize como critério de parada o erro absoluto
ou cinco iterações.
(a) para .
(b) para .
O método iterativo é convergente se, para alguma norma de matriz , (condição suficiente para convergência). Seja
a matriz de iteração de um sistema . Teste o critério de convergência para as normas abaixo.
  • Norma do Máximo (soma máxima de linha)
  • Norma 1 (soma máxima de coluna)
Dada a tabela:
0.1 0.2 0.3 0.4 0.5
-2.303 -1.609 -1.204 -0.916 -0.693
(a) Estimar através de interpolação linear e quadrática.
(b) Qual deve ser o valor de se queremos obter com três casas decimais corretas, para , através de interpolação linear, usando uma tabela para argumentos igualmente espaçados de
Considere a função dada pela tabela:
0 1 2 3
0 0 0 0
e o polinômio dado por .
(a) Verifique que .
(b) é o polinômio interpolador de sobre os pontos ? Justifique.