Resolver os sistemas lineares da abaixo utilizando os métodos de Jacobi e de Gauss-Seidel com x^0=0. Utilize como critério de parada o erro absoluto
max 1 <= 1 <= n|xi^k-xi^k-1| <= varepsilon
com varepsilon=0,01 ou cinco iterações.
(a) (cc16 & 5 1 & 2)binomx1x2=binomb1b2 para b=(ll21,0 & 3)^t.
(b) (rrc2 & 1 & 0 1 & 6 & 4 0 & 4 & 11)(lx1 x2 x3)=(lb1 b2 b3) para b=(lll3 & 11 & 15)^t.

Passo 1

Vamos resolver o sistema linear utilizando os métodos de Jacobi e Gauss-Seidel. O sistema dado é:

$$
16 & 5 1 & 2 x1 x2 = 21 3

$$
Vamos precisar aplicar os métodos iterativos de Jacobi e Gauss-Seidel com a condição inicial e usar o critério de parada ou realizar até cinco iterações.

Passo 2

Método de Jacobi
No método de Jacobi, cada variável é isolada na equação correspondente, e os valores das iterações anteriores são usados para calcular as novas aproximações.
Vamos reescrever o sistema:
16x1 + 5x2 = 21 x1 + 2x2 = 3
Isolando x1 = 21 - 5x216 x2 = 3 - x12 e :

Passo 3

Iteração 1 (k=1)
Começamos com 0 0 .
Calculando x1^1 = 21 - 5(0)16 = 2116 = 1,3125 e x2^1 = 3 - 02 = 32 = 1,5 :

Passo 4

Critério de Parada
Calculamos o erro absoluto máximo:
max | x^1 - x^0 | = max | 1,3125 - 0 1,5 - 0 | = 1,5 > 0,01
Como o erro é maior que 0,01 e ainda não alcançamos cinco iterações, seguimos para a próxima iteração.

Passo 5

Iteração 2 (k=2)
Usando os valores de x1^2 = 21 - 5(1,5)16 = 21 - 7,516 = 13,516 = 0,84375 :
x2^2 = 3 - 1,31252 = 1,68752 = 0,84375

Passo 6

Verificando o Critério de Parada
max | x^2 - x^1 | = max | 0,84375 - 1,3125 0,84375 - 1,5 | = max | -0,46875 -0,65625 | = 0,65625 > 0,01
Ainda não atingimos o critério de parada, seguimos para a próxima iteração.

Passo 7

Iteração 3 (k=3)
Usando os valores de x1^3 = 21 - 5(0,84375)16 = 21 - 4,2187516 = 16,7812516 = 1,048828125 :
x2^3 = 3 - 0,843752 = 2,156252 = 1,078125

Passo 8

Verificando o Critério de Parada
max | x^3 - x^2 | = max | 1,048828125 - 0,84375 1,078125 - 0,84375 | = max | 0,205078125 0,234375 | = 0,234375 > 0,01
Continuamos para a próxima iteração.

Passo 9

Iteração 4 (k=4)
Usando os valores de x1^4 = 21 - 5(1,078125)16 = 21 - 5,39062516 = 15,60937516 = 0,9755859375 :
x2^4 = 3 - 1,0488281252 = 1,9511718752 = 0,9755859375

Passo 10

Verificando o Critério de Parada
max | x^4 - x^3 | = max | 0,9755859375 - 1,048828125 0,9755859375 - 1,078125 | = max | -0,0732421875 -0,1025390625 | = 0,1025390625 > 0,01
Vamos para a última iteração permitida.

Passo 11

Iteração 5 (k=5)
Usando os valores de x1^5 = 21 - 5(0,9755859375)16 = 21 - 4,877929687516 = 16,122070312516 = 1,007628173828125 :
x2^5 = 3 - 0,97558593752 = 2,02441406252 = 1,01220703125

Passo 12

Verificando o Critério de Parada
max | x^5 - x^4 | = max | 1,007628173828125 - 0,9755859375 1,01220703125 - 0,9755859375 | = max | 0,032042236328125 0,03662109375 | = 0,03662109375 > 0,01
Como atingimos as cinco iterações, encerramos o método de Jacobi.

Resposta

Após cinco iterações pelo método de Jacobi, as aproximações das soluções são:
x1 approx 1,0076 e x2 approx 1,0122

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