Resolver os sistemas lineares da abaixo utilizando os métodos de Jacobi e de Gauss-Seidel . Utilize como critério de parada o erro absoluto
ou cinco iterações.
(a) para .
(b) para .

Passo 1

Vamos resolver o sistema linear utilizando os métodos de Jacobi e Gauss-Seidel. O sistema dado é:

$$

$$
Vamos precisar aplicar os métodos iterativos de Jacobi e Gauss-Seidel com a condição inicial e usar o critério de parada ou realizar até cinco iterações.

Passo 2

Método de Jacobi
No método de Jacobi, cada variável é isolada na equação correspondente, e os valores das iterações anteriores são usados para calcular as novas aproximações.
Vamos reescrever o sistema:
Isolando e :

Passo 3

Iteração 1 (k=1)
Começamos com .
Calculando e :

Passo 4

Critério de Parada
Calculamos o erro absoluto máximo:
Como o erro é maior que 0,01 e ainda não alcançamos cinco iterações, seguimos para a próxima iteração.

Passo 5

Iteração 2 (k=2)
Usando os valores de :

Passo 6

Verificando o Critério de Parada
Ainda não atingimos o critério de parada, seguimos para a próxima iteração.

Passo 7

Iteração 3 (k=3)
Usando os valores de :

Passo 8

Verificando o Critério de Parada
Continuamos para a próxima iteração.

Passo 9

Iteração 4 (k=4)
Usando os valores de :

Passo 10

Verificando o Critério de Parada
Vamos para a última iteração permitida.

Passo 11

Iteração 5 (k=5)
Usando os valores de :

Passo 12

Verificando o Critério de Parada
Como atingimos as cinco iterações, encerramos o método de Jacobi.

Resposta

Após cinco iterações pelo método de Jacobi, as aproximações das soluções são:

Exercícios relacionados

O método iterativo é convergente se, para alguma norma de matriz , (condição suficiente para convergência). Seja
a matriz de iteração de um sistema . Teste o critério de convergência para as normas abaixo.
  • Norma do Máximo (soma máxima de linha)
  • Norma 1 (soma máxima de coluna)
Um método iterativo estacionário pode ser escrito na forma , onde a matriz de iteração e o vetor são constantes. Utilizando a decomposição (onde é uma matriz diagonal, é uma matriz triangular inferior e é uma matriz triangular superior) mostre que os métodos de Jacobi e Gauss-Seidel podem ser escritos nessa forma, explicitando e para cada caso.
Considerando a função tabelada:
1.00 1.10 1.15 1.25 1.30
1.00000 1.04881 1.07238 1.11803 1.14018
(a) Determinar o valor aproximado de usando o polinômio de interpolação de Newton sobre três pontos. (Escolha os pontos mais próximos de para fazer a interpolação).
(b) Calcular um limitante superior para o erro.
Dada a tabela:
0.1 0.2 0.3 0.4 0.5
-2.303 -1.609 -1.204 -0.916 -0.693
(a) Estimar através de interpolação linear e quadrática.
(b) Qual deve ser o valor de se queremos obter com três casas decimais corretas, para , através de interpolação linear, usando uma tabela para argumentos igualmente espaçados de