O método iterativo x^k+1=M x^k+c é convergente se, para alguma norma de matriz |cdot|, |M|<1 (condição suficiente para convergência). Seja
M=(rrr 0,5 & -0,2 & 0,5 0,1 & 0,6 & 0,4 -0,3 & 0,1 & 0,0 )
a matriz de iteração de um sistema A x=b. Teste o critério de convergência para as normas abaixo.
  • Norma do Máximo (soma máxima de linha) |A|infty=max 1 <= i <= n sumj=1^n|ai j|
  • Norma 1 (soma máxima de coluna) |A|1=max 1 <= j <= n sumi=1^n|ai j|

Passo 1

Vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos um método iterativo dado por e queremos saber se ele converge. Para isso, vamos usar duas normas de matrizes: a Norma do Máximo (ou norma infinito) e a Norma 1. A regra para a convergência é que a norma da matriz seja menor que 1. Vamos calcular essas duas normas para a matriz fornecida e verificar se elas atendem a essa condição.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a Norma do Máximo da matriz |M|infty = max1 <= i <= n sumj=1^n |mij| . A Norma do Máximo é a maior soma dos valores absolutos das linhas da matriz. A fórmula é:
|M|infty = 1,2
Vamos calcular a soma de cada linha:
  • Linha 1:
  • Linha 2:
  • Linha 3:
A maior soma é 1,2. Portanto,

Passo 3

Agora, vamos calcular a Norma 1 da matriz |M|1 = max1 <= j <= n sumi=1^n |mij| . A Norma 1 é a maior soma dos valores absolutos das colunas da matriz. A fórmula é:
|M|1 = 0,9
Vamos calcular a soma de cada coluna:
  • Coluna 1:
  • Coluna 2:
  • Coluna 3:
A maior soma é 0,9. Portanto,

Resposta

  • Norma do Máximo: . Como 1,2 é maior que 1, o critério de convergência não é atendido por essa norma.
  • Norma 1: . Como 0,9 é menor que 1, o critério de convergência é atendido por essa norma.
Portanto, o método iterativo converge quando utilizamos a Norma 1.

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