O método iterativo é convergente se, para alguma norma de matriz , (condição suficiente para convergência). Seja
a matriz de iteração de um sistema . Teste o critério de convergência para as normas abaixo.
Norma do Máximo (soma máxima de linha)
Norma 1 (soma máxima de coluna)
Passo 1
Vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos um método iterativo dado por e queremos saber se ele converge. Para isso, vamos usar duas normas de matrizes: a Norma do Máximo (ou norma infinito) e a Norma 1. A regra para a convergência é que a norma da matriz seja menor que 1. Vamos calcular essas duas normas para a matriz fornecida e verificar se elas atendem a essa condição.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a Norma do Máximo da matriz . A Norma do Máximo é a maior soma dos valores absolutos das linhas da matriz. A fórmula é:
Vamos calcular a soma de cada linha:
Linha 1:
Linha 2:
Linha 3:
A maior soma é 1,2. Portanto,
Passo 3
Agora, vamos calcular a Norma 1 da matriz . A Norma 1 é a maior soma dos valores absolutos das colunas da matriz. A fórmula é:
Vamos calcular a soma de cada coluna:
Coluna 1:
Coluna 2:
Coluna 3:
A maior soma é 0,9. Portanto,
Resposta
Norma do Máximo: . Como 1,2 é maior que 1, o critério de convergência não é atendido por essa norma.
Norma 1: . Como 0,9 é menor que 1, o critério de convergência é atendido por essa norma.
Portanto, o método iterativo converge quando utilizamos a Norma 1.