O método iterativo é convergente se, para alguma norma de matriz , (condição suficiente para convergência). Seja
a matriz de iteração de um sistema . Teste o critério de convergência para as normas abaixo.
  • Norma do Máximo (soma máxima de linha)
  • Norma 1 (soma máxima de coluna)

Passo 1

Vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos um método iterativo dado por e queremos saber se ele converge. Para isso, vamos usar duas normas de matrizes: a Norma do Máximo (ou norma infinito) e a Norma 1. A regra para a convergência é que a norma da matriz seja menor que 1. Vamos calcular essas duas normas para a matriz fornecida e verificar se elas atendem a essa condição.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a Norma do Máximo da matriz . A Norma do Máximo é a maior soma dos valores absolutos das linhas da matriz. A fórmula é:
Vamos calcular a soma de cada linha:
  • Linha 1:
  • Linha 2:
  • Linha 3:
A maior soma é 1,2. Portanto,

Passo 3

Agora, vamos calcular a Norma 1 da matriz . A Norma 1 é a maior soma dos valores absolutos das colunas da matriz. A fórmula é:
Vamos calcular a soma de cada coluna:
  • Coluna 1:
  • Coluna 2:
  • Coluna 3:
A maior soma é 0,9. Portanto,

Resposta

  • Norma do Máximo: . Como 1,2 é maior que 1, o critério de convergência não é atendido por essa norma.
  • Norma 1: . Como 0,9 é menor que 1, o critério de convergência é atendido por essa norma.
Portanto, o método iterativo converge quando utilizamos a Norma 1.

Exercícios relacionados

Um método iterativo estacionário pode ser escrito na forma , onde a matriz de iteração e o vetor são constantes. Utilizando a decomposição (onde é uma matriz diagonal, é uma matriz triangular inferior e é uma matriz triangular superior) mostre que os métodos de Jacobi e Gauss-Seidel podem ser escritos nessa forma, explicitando e para cada caso.
Considere o sistema abaixo e responda:
(a) Verifique se o Método de Gauss-Seidel é convergente usando o critério de Sassenfeld.
(b) Aplique o Método de Gauss-Seidel com e .
Resolver os sistemas lineares da abaixo utilizando os métodos de Jacobi e de Gauss-Seidel . Utilize como critério de parada o erro absoluto
ou cinco iterações.
(a) para .
(b) para .
Considerando a função tabelada:
1.00 1.10 1.15 1.25 1.30
1.00000 1.04881 1.07238 1.11803 1.14018
(a) Determinar o valor aproximado de usando o polinômio de interpolação de Newton sobre três pontos. (Escolha os pontos mais próximos de para fazer a interpolação).
(b) Calcular um limitante superior para o erro.