Dada a tabela:
0.1 0.2 0.3 0.4 0.5
-2.303 -1.609 -1.204 -0.916 -0.693
(a) Estimar através de interpolação linear e quadrática.
(b) Qual deve ser o valor de se queremos obter com três casas decimais corretas, para , através de interpolação linear, usando uma tabela para argumentos igualmente espaçados de

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos um exercício de interpolação envolvendo a função logarítmica natural, . No item (a), precisamos estimar usando interpolação linear e quadrática com os dados fornecidos na tabela. No item (b), temos que descobrir o valor de que garante que a estimativa de tenha três casas decimais corretas usando interpolação linear para . Vamos precisar entender como funciona a interpolação linear e quadrática para resolver esses itens.

Passo 2

Primeiro, vamos para o item (a). Queremos estimar usando interpolação linear e quadrática. Olhando a tabela, vemos valores de que vão de 0.1 a 0.5. Para interpolar, precisamos identificar dois ou três pontos próximos a .

Passo 3

Vamos identificar os pontos na tabela que cercam . Observando a tabela:
  • ,
  • ,
  • ,
Como 0.32 está entre 0.3 e 0.4, usaremos esses dois pontos para a interpolação linear e adicionaremos o ponto para a interpolação quadrática.

Passo 4

Interpolação Linear:
A f��rmula para interpolação linear entre dois pontos e é:
Aqui, , , , , e .

Passo 5

Vamos substituir na fórmula:
Calculando o numerador:
Denominador:
Então:

Passo 6

Interpolação Quadrática:
Para a interpolação quadrática, usamos três pontos. Vamos usar , e com correspondentes. Podemos usar a fórmula de Lagrange ou ajustar um polinômio de segundo grau. Para simplificar, usaremos a fórmula de Lagrange:
Onde:
  • ,
  • ,
  • ,

Passo 7

Vamos calcular cada termo separadamente:
Primeiro termo:
Segundo termo:
Terceiro termo:

Passo 8

Agora, somamos os três termos:

Passo 9

Então, temos:
  • Estimativa por interpolação linear:
  • Estimativa por interpolação quadrática:

Passo 10

Agora, vamos para o item (b). Queremos encontrar o valor de tal que, usando interpolação linear com pontos espaçados de , obtenhamos com três casas decimais corretas para .

Passo 11

Primeiro, precisamos entender o erro da interpolação linear. O erro de interpolação linear para uma função é dado por:
Queremos que esse erro seja menor que (para garantir três casas decimais corretas).

Passo 12

Vamos calcular a segunda derivada de :
Então,

Passo 13

Para , a máxima de ocorre em :

Passo 14

Substituindo na fórmula do erro:
Multiplicando ambos os lados por 8:
Extraindo a raiz quadrada:

Passo 15

Arredondando para três casas, temos

Resposta

(a) Estimativa de :
  • Interpolação Linear:
  • Interpolação Quadrática:
(b) O valor máximo de para obter com três casas decimais corretas, para , usando interpolação linear é .

Exercícios relacionados

Considerando a função tabelada:
1.00 1.10 1.15 1.25 1.30
1.00000 1.04881 1.07238 1.11803 1.14018
(a) Determinar o valor aproximado de usando o polinômio de interpolação de Newton sobre três pontos. (Escolha os pontos mais próximos de para fazer a interpolação).
(b) Calcular um limitante superior para o erro.
Resolver os sistemas lineares da abaixo utilizando os métodos de Jacobi e de Gauss-Seidel . Utilize como critério de parada o erro absoluto
ou cinco iterações.
(a) para .
(b) para .
Considere a função dada pela tabela:
0 1 2 3
0 0 0 0
e o polinômio dado por .
(a) Verifique que .
(b) é o polinômio interpolador de sobre os pontos ? Justifique.
Mostre que, se e , então:
a) O interpolante linear pode ser escrito como
b) O interpolante quadrático pode ser escrito como