(a) Estimar através de interpolação linear e quadrática.
(b) Qual deve ser o valor de se queremos obter com três casas decimais corretas, para , através de interpolação linear, usando uma tabela para argumentos igualmente espaçados de
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos um exercício de interpolação envolvendo a função logarítmica natural, . No item (a), precisamos estimar usando interpolação linear e quadrática com os dados fornecidos na tabela. No item (b), temos que descobrir o valor de que garante que a estimativa de tenha três casas decimais corretas usando interpolação linear para . Vamos precisar entender como funciona a interpolação linear e quadrática para resolver esses itens.
Passo 2
Primeiro, vamos para o item (a). Queremos estimar usando interpolação linear e quadrática. Olhando a tabela, vemos valores de que vão de 0.1 a 0.5. Para interpolar, precisamos identificar dois ou três pontos próximos a .
Passo 3
Vamos identificar os pontos na tabela que cercam . Observando a tabela:
,
,
,
Como 0.32 está entre 0.3 e 0.4, usaremos esses dois pontos para a interpolação linear e adicionaremos o ponto para a interpolação quadrática.
Passo 4
Interpolação Linear:
A f��rmula para interpolação linear entre dois pontos e é:
Aqui, , , , , e .
Passo 5
Vamos substituir na fórmula:
Calculando o numerador:
Denominador:
Então:
Passo 6
Interpolação Quadrática:
Para a interpolação quadrática, usamos três pontos. Vamos usar , e com correspondentes. Podemos usar a fórmula de Lagrange ou ajustar um polinômio de segundo grau. Para simplificar, usaremos a fórmula de Lagrange:
Onde:
,
,
,
Passo 7
Vamos calcular cada termo separadamente:
Primeiro termo:
Segundo termo:
Terceiro termo:
Passo 8
Agora, somamos os três termos:
Passo 9
Então, temos:
Estimativa por interpolação linear:
Estimativa por interpolação quadrática:
Passo 10
Agora, vamos para o item (b). Queremos encontrar o valor de tal que, usando interpolação linear com pontos espaçados de , obtenhamos com três casas decimais corretas para .
Passo 11
Primeiro, precisamos entender o erro da interpolação linear. O erro de interpolação linear para uma função é dado por:
Queremos que esse erro seja menor que (para garantir três casas decimais corretas).
Passo 12
Vamos calcular a segunda derivada de :
Então,
Passo 13
Para , a máxima de ocorre em :
Passo 14
Substituindo na fórmula do erro:
Multiplicando ambos os lados por 8:
Extraindo a raiz quadrada:
Passo 15
Arredondando para três casas, temos
Resposta
(a) Estimativa de :
Interpolação Linear:
Interpolação Quadrática:
(b) O valor máximo de para obter com três casas decimais corretas, para , usando interpolação linear é .