Dada a tabela:
|
0.1 | 0.2 | 0.3 | 0.4 | 0.5 |
---|---|---|---|---|---|
|
-2.303 | -1.609 | -1.204 | -0.916 | -0.693 |
(a) Estimar
através de interpolação linear e quadrática.
(b) Qual deve ser o valor de se queremos obter
com três casas decimais corretas, para
, através de interpolação linear, usando uma tabela para argumentos
igualmente espaçados de
(b) Qual deve ser o valor de
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos um exercício de interpolação envolvendo a função logarítmica natural,
. No item (a), precisamos estimar
usando interpolação linear e quadrática com os dados fornecidos na tabela. No item (b), temos que descobrir o valor de
que garante que a estimativa de
tenha três casas decimais corretas usando interpolação linear para
. Vamos precisar entender como funciona a interpolação linear e quadrática para resolver esses itens.
Passo 2
Primeiro, vamos para o item (a). Queremos estimar
usando interpolação linear e quadrática. Olhando a tabela, vemos valores de
que vão de 0.1 a 0.5. Para interpolar, precisamos identificar dois ou três pontos próximos a
.
Passo 3
Vamos identificar os pontos na tabela que cercam
. Observando a tabela:
-
, -
, -
,
Como 0.32 está entre 0.3 e 0.4, usaremos esses dois pontos para a interpolação linear e adicionaremos o ponto
para a interpolação quadrática.
Passo 4
Interpolação Linear:
A f��rmula para interpolação linear entre dois pontos e
é:
A f��rmula para interpolação linear entre dois pontos
Aqui,
,
,
,
, e
.
Passo 5
Vamos substituir na fórmula:
Calculando o numerador:
Denominador:
Então:
Passo 6
Interpolação Quadrática:
Para a interpolação quadrática, usamos três pontos. Vamos usar ,
e
com
correspondentes. Podemos usar a fórmula de Lagrange ou ajustar um polinômio de segundo grau. Para simplificar, usaremos a fórmula de Lagrange:
Para a interpolação quadrática, usamos três pontos. Vamos usar
Onde:
-
, -
, -
, -
Passo 7
Vamos calcular cada termo separadamente:
Primeiro termo:
Segundo termo:
Terceiro termo:
Passo 8
Agora, somamos os três termos:
Passo 9
Então, temos:
- Estimativa por interpolação linear:
- Estimativa por interpolação quadrática:
Passo 10
Agora, vamos para o item (b). Queremos encontrar o valor de
tal que, usando interpolação linear com pontos espaçados de
, obtenhamos
com três casas decimais corretas para
.
Passo 11
Primeiro, precisamos entender o erro da interpolação linear. O erro de interpolação linear para uma função
é dado por:
Queremos que esse erro seja menor que
(para garantir três casas decimais corretas).
Passo 12
Vamos calcular a segunda derivada de
:
Então,
Passo 13
Para
, a máxima de
ocorre em
:
Passo 14
Substituindo na fórmula do erro:
Multiplicando ambos os lados por 8:
Extraindo a raiz quadrada:
Passo 15
Arredondando para três casas, temos
Resposta
(a) Estimativa de
:
- Interpolação Linear:
- Interpolação Quadrática:
(b) O valor máximo de
para obter
com três casas decimais corretas, para
, usando interpolação linear é
.