Dada a tabela:
x 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5
ln (x) -2.303 -1.609 -1.204 -0.916 -0.693
(a) Estimar ln (0.32) através de interpolação linear e quadrática.
(b) Qual deve ser o valor de h se queremos obter ln (x) com três casas decimais corretas, para x >= 1, através de interpolação linear, usando uma tabela para argumentos xi igualmente espaçados de h ?

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos um exercício de interpolação envolvendo a função logarítmica natural, . No item (a), precisamos estimar usando interpolação linear e quadrática com os dados fornecidos na tabela. No item (b), temos que descobrir o valor de que garante que a estimativa de tenha três casas decimais corretas usando interpolação linear para . Vamos precisar entender como funciona a interpolação linear e quadrática para resolver esses itens.

Passo 2

Primeiro, vamos para o item (a). Queremos estimar usando interpolação linear e quadrática. Olhando a tabela, vemos valores de que vão de 0.1 a 0.5. Para interpolar, precisamos identificar dois ou três pontos próximos a .

Passo 3

Vamos identificar os pontos na tabela que cercam . Observando a tabela:
  • ,
  • ,
  • ,
Como 0.32 está entre 0.3 e 0.4, usaremos esses dois pontos para a interpolação linear e adicionaremos o ponto para a interpolação quadrática.

Passo 4

Interpolação Linear:
A f��rmula para interpolação linear entre dois pontos y = y0 + (y1 - y0)(x1 - x0) times (x - x0) e é:
Aqui, , , , , e .

Passo 5

Vamos substituir na fórmula:
y = -1.204 + (-0.916 - (-1.204))(0.4 - 0.3) times (0.32 - 0.3)
Calculando o numerador:
-0.916 - (-1.204) = 0.288
Denominador:
0.4 - 0.3 = 0.1
Então:
y = -1.204 + 0.2880.1 times 0.02 = -1.204 + 2.88 times 0.02 = -1.204 + 0.0576 = -1.1464

Passo 6

Interpolação Quadrática:
Para a interpolação quadrática, usamos três pontos. Vamos usar P(x) = y0 (x - x1)(x - x2)(x0 - x1)(x0 - x2) + y1 (x - x0)(x - x2)(x1 - x0)(x1 - x2) + y2 (x - x0)(x - x1)(x2 - x0)(x2 - x1) , e com correspondentes. Podemos usar a fórmula de Lagrange ou ajustar um polinômio de segundo grau. Para simplificar, usaremos a fórmula de Lagrange:
Onde:
  • ,
  • ,
  • ,

Passo 7

Vamos calcular cada termo separadamente:
Primeiro termo:
-1.204 times (0.32 - 0.4)(0.32 - 0.5)(0.3 - 0.4)(0.3 - 0.5) = -1.204 times (-0.08)(-0.18)(-0.1)(-0.2) = -1.204 times 0.01440.02 = -1.204 times 0.72 = -0.86688
Segundo termo:
-0.916 times (0.32 - 0.3)(0.32 - 0.5)(0.4 - 0.3)(0.4 - 0.5) = -0.916 times 0.02 times (-0.18)0.1 times (-0.1) = -0.916 times -0.0036-0.01 = -0.916 times 0.36 = -0.32976
Terceiro termo:
-0.693 times (0.32 - 0.3)(0.32 - 0.4)(0.5 - 0.3)(0.5 - 0.4) = -0.693 times 0.02 times (-0.08)0.2 times 0.1 = -0.693 times -0.00160.02 = -0.693 times -0.08 = 0.05544

Passo 8

Agora, somamos os três termos:
P(0.32) = -0.86688 - 0.32976 + 0.05544 = -1.1412

Passo 9

Então, temos:
  • Estimativa por interpolação linear:
  • Estimativa por interpolação quadrática:

Passo 10

Agora, vamos para o item (b). Queremos encontrar o valor de tal que, usando interpolação linear com pontos espaçados de , obtenhamos com três casas decimais corretas para .

Passo 11

Primeiro, precisamos entender o erro da interpolação linear. O erro de interpolação linear para uma função E = (h)^28 times maxx in [a, b] |f''(x)| é dado por:
Queremos que esse erro seja menor que (para garantir três casas decimais corretas).

Passo 12

Vamos calcular a segunda derivada de f'(x) = 1x, f''(x) = -1x^2 :
Então,

Passo 13

Para max |f''(x)| = 11^2 = 1 , a máxima de ocorre em :

Passo 14

Substituindo na fórmula do erro:
h^28 <= 0.0005
Multiplicando ambos os lados por 8:
h^2 <= 0.004
Extraindo a raiz quadrada:
h <= raiz0.004 = 0.0632456

Passo 15

Arredondando para três casas, temos

Resposta

(a) Estimativa de :
  • Interpolação Linear:
  • Interpolação Quadrática:
(b) O valor máximo de para obter com três casas decimais corretas, para , usando interpolação linear é .

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