Considere a função
dada pela tabela:
|
0 | 1 | 2 | 3 |
---|---|---|---|---|
|
0 | 0 | 0 | 0 |
e o polinômio dado por
.
(a) Verifique que .
(b) é o polinômio interpolador de
sobre os pontos
? Justifique.
(a) Verifique que
(b)
Passo 1
Beleza, temos uma função
que vale 0 para
e um polinômio
. A gente vai verificar duas coisas: primeiro, se
iguala
nesses pontos específicos, e segundo, se
é o polinômio interpolador de
nesses mesmos pontos. Para isso, vamos usar conceitos de interpolação polinomial.
Passo 2
Vamos começar com a parte (a) da questão: verificar se
para
. Isso significa que, para cada valor de
, quando substituímos no polinômio
, o resultado deve ser igual a
.
Passo 3
Primeiro, calculamos
:
Como
, temos que
.
Passo 4
Agora, calculamos
:
E como
, então
.
Passo 5
Seguimos para
:
Já que
, temos
.
Passo 6
Por último, calculamos
:
E como
, então
.
Passo 7
Com isso, verificamos que para todos os pontos
,
.
Passo 8
Agora, vamos para a parte (b): determinar se
é o polinômio interpolador de
sobre os pontos
. O polinômio interpolador deve passar exatamente por esses pontos e ter o menor grau possível.
Passo 9
Observamos que
tem grau 4, já que o termo de maior potência é
. Porém, como todos os valores de
são zero, o polinômio interpolador ideal seria o polinômio nulo
, que tem grau 0.
Passo 10
Como o polinômio interpolador verdadeiro tem grau menor que 4, podemos concluir que
não é o polinômio interpolador de
para esses pontos.
Resposta
(a) Sim,
para
.
(b) Não,
não é o polinômio interpolador de
sobre os pontos
.
Exercícios relacionados
Dada a tabela:
|
0.1 | 0.2 | 0.3 | 0.4 | 0.5 |
---|---|---|---|---|---|
|
-2.303 | -1.609 | -1.204 | -0.916 | -0.693 |
(a) Estimar
através de interpolação linear e quadrática.
(b) Qual deve ser o valor de se queremos obter
com três casas decimais corretas, para
, através de interpolação linear, usando uma tabela para argumentos
igualmente espaçados de
(b) Qual deve ser o valor de
Considerando a função
tabelada:
|
1.00 | 1.10 | 1.15 | 1.25 | 1.30 |
---|---|---|---|---|---|
|
1.00000 | 1.04881 | 1.07238 | 1.11803 | 1.14018 |
(a) Determinar o valor aproximado de
usando o polinômio de interpolação de Newton sobre três pontos. (Escolha os pontos mais próximos de
para fazer a interpolação).
(b) Calcular um limitante superior para o erro.
(b) Calcular um limitante superior para o erro.
Mostre que, se
e
, então:
a) O interpolante linear pode ser escrito como
a) O interpolante linear pode ser escrito como
b) O interpolante quadrático pode ser escrito como
Enumerar, localizar, separar e calcular, se possível, todas as raízes da função
, considere
casas decimais de aproximação e os seguintes métodos para Zero de Funções:
a) Bissecção. Calcule o número de iterações;
a) Bissecção. Calcule o número de iterações;