Considere a função f(x) dada pela tabela:
x 0 1 2 3
f(x) 0 0 0 0
e o polinômio dado por p(x)=x(x-1)(x-2)(x-3).
(a) Verifique que p(xk)=f(xk), k=0,1,2,3.
(b) p(x) é o polinômio interpolador de f(x) sobre os pontos 0,1,2,3 ? Justifique.

Passo 1

Beleza, temos uma função f(x) que vale 0 para x = 0, 1, 2, 3 e um polinômio p(x) = x(x-1)(x-2)(x-3). A gente vai verificar duas coisas: primeiro, se p(x) iguala f(x) nesses pontos específicos, e segundo, se p(x) é o polinômio interpolador de f(x) nesses mesmos pontos. Para isso, vamos usar conceitos de interpolação polinomial.

Passo 2

Vamos começar com a parte (a) da questão: verificar se p(xk) = f(xk) para k = 0, 1, 2, 3. Isso significa que, para cada valor de xk, quando substituímos no polinômio p(x), o resultado deve ser igual a f(xk).

Passo 3

Primeiro, calculamos p(0):
p(0) = 0 times (0-1) times (0-2) times (0-3) = 0 times (-1) times (-2) times (-3) = 0
Como f(0) = 0, temos que p(0) = f(0).

Passo 4

Agora, calculamos p(1):
p(1) = 1 times (1-1) times (1-2) times (1-3) = 1 times 0 times (-1) times (-2) = 0
E como f(1) = 0, então p(1) = f(1).

Passo 5

Seguimos para p(2):
p(2) = 2 times (2-1) times (2-2) times (2-3) = 2 times 1 times 0 times (-1) = 0
Já que f(2) = 0, temos p(2) = f(2).

Passo 6

Por último, calculamos p(3):
p(3) = 3 times (3-1) times (3-2) times (3-3) = 3 times 2 times 1 times 0 = 0
E como f(3) = 0, então p(3) = f(3).

Passo 7

Com isso, verificamos que para todos os pontos x = 0, 1, 2, 3, p(xk) = f(xk).

Passo 8

Agora, vamos para a parte (b): determinar se p(x) é o polinômio interpolador de f(x) sobre os pontos 0, 1, 2, 3. O polinômio interpolador deve passar exatamente por esses pontos e ter o menor grau possível.

Passo 9

Observamos que p(x) tem grau 4, já que o termo de maior potência é x^4. Porém, como todos os valores de f(x) são zero, o polinômio interpolador ideal seria o polinômio nulo P(x) = 0, que tem grau 0.

Passo 10

Como o polinômio interpolador verdadeiro tem grau menor que 4, podemos concluir que p(x) não é o polinômio interpolador de f(x) para esses pontos.

Resposta

(a) Sim, p(xk) = f(xk) para k = 0, 1, 2, 3.
(b) Não, p(x) não é o polinômio interpolador de f(x) sobre os pontos 0, 1, 2, 3.

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