Considere a função dada pela tabela:
0 1 2 3
0 0 0 0
e o polinômio dado por .
(a) Verifique que .
(b) é o polinômio interpolador de sobre os pontos ? Justifique.

Passo 1

Beleza, temos uma função que vale 0 para e um polinômio . A gente vai verificar duas coisas: primeiro, se iguala nesses pontos específicos, e segundo, se é o polinômio interpolador de nesses mesmos pontos. Para isso, vamos usar conceitos de interpolação polinomial.

Passo 2

Vamos começar com a parte (a) da questão: verificar se para . Isso significa que, para cada valor de , quando substituímos no polinômio , o resultado deve ser igual a .

Passo 3

Primeiro, calculamos :
Como , temos que .

Passo 4

Agora, calculamos :
E como , então .

Passo 5

Seguimos para :
Já que , temos .

Passo 6

Por último, calculamos :
E como , então .

Passo 7

Com isso, verificamos que para todos os pontos , .

Passo 8

Agora, vamos para a parte (b): determinar se é o polinômio interpolador de sobre os pontos . O polinômio interpolador deve passar exatamente por esses pontos e ter o menor grau possível.

Passo 9

Observamos que tem grau 4, já que o termo de maior potência é . Porém, como todos os valores de são zero, o polinômio interpolador ideal seria o polinômio nulo , que tem grau 0.

Passo 10

Como o polinômio interpolador verdadeiro tem grau menor que 4, podemos concluir que não é o polinômio interpolador de para esses pontos.

Resposta

(a) Sim, para .
(b) Não, não é o polinômio interpolador de sobre os pontos .

Exercícios relacionados

Dada a tabela:
0.1 0.2 0.3 0.4 0.5
-2.303 -1.609 -1.204 -0.916 -0.693
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(b) Qual deve ser o valor de se queremos obter com três casas decimais corretas, para , através de interpolação linear, usando uma tabela para argumentos igualmente espaçados de
Considerando a função tabelada:
1.00 1.10 1.15 1.25 1.30
1.00000 1.04881 1.07238 1.11803 1.14018
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(b) Calcular um limitante superior para o erro.
Mostre que, se e , então:
a) O interpolante linear pode ser escrito como
b) O interpolante quadrático pode ser escrito como
Enumerar, localizar, separar e calcular, se possível, todas as raízes da função , considere casas decimais de aproximação e os seguintes métodos para Zero de Funções:
a) Bissecção. Calcule o número de iterações;