Considerando a função f(x)=1-2 x+sin (x), calcule o que se pede.
Utilizando os resultados do item anterior, encontre o zero real da função com o método de NewtonRaphson:
f(x)=1-2 x+sin (x) com precisão varepsilon=10^-4. No preenchimento da tabela abaixo e no resultado, arredondar em 8 casas decimais.
n xn-1 xn |xn-xn-1|
1
2
3
4
Resposta: barx=

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado pede para encontrar o zero real da função usando o método de Newton-Raphson, com uma precisão de . Para isso, vamos precisar entender como funciona o método de Newton-Raphson, que é uma técnica numérica para encontrar raízes de funções.

Passo 2

Primeiro, precisamos escolher um valor inicial . Esse valor é o nosso ponto de partida para as iterações. Vamos começar com .

Passo 3

Agora, vamos aplicar a fórmula do método de Newton-Raphson:
xn = xn-1 - f(xn-1)f'(xn-1)
Onde:
  • (derivada de )
Vamos preencher a tabela para cada iteração.

Passo 4

Iteração 1 (n=1):
x0 &= 0 f(x0) &= 1 - 2(0) + sin(0) = 1 f'(x0) &= -2 + cos(0) = -2 + 1 = -1 x1 &= x0 - f(x0)f'(x0) = 0 - 1-1 = 1 |x1 - x0| &= |1 - 0| = 1

Passo 5

Iteração 2 (n=2):
x1 &= 1 f(x1) &= 1 - 2(1) + sin(1) approx 1 - 2 + 0.84147098 approx -0.15852902 f'(x1) &= -2 + cos(1) approx -2 + 0.54030231 approx -1.45969769 x2 &= 1 - -0.15852902-1.45969769 approx 1 - 0.10863857 approx 0.89136143 |x2 - x1| &= |0.89136143 - 1| approx 0.10863857

Passo 6

Iteração 3 (n=3):
x2 &= 0.89136143 f(x2) &= 1 - 2(0.89136143) + sin(0.89136143) approx 1 - 1.78272286 + 0.77998656 approx -0.00273630 f'(x2) &= -2 + cos(0.89136143) approx -2 + 0.62925334 approx -1.37074666 x3 &= 0.89136143 - -0.00273630-1.37074666 approx 0.89136143 - 0.00199580 approx 0.88936563 |x3 - x2| &= |0.88936563 - 0.89136143| approx 0.00199580

Passo 7

Iteração 4 (n=4):
x3 &= 0.88936563 f(x3) &= 1 - 2(0.88936563) + sin(0.88936563) approx 1 - 1.77873126 + 0.78055090 approx 0.00181964 f'(x3) &= -2 + cos(0.88936563) approx -2 + 0.62811330 approx -1.37188670 x4 &= 0.88936563 - 0.00181964-1.37188670 approx 0.88936563 + 0.00132837 approx 0.89069399 |x4 - x3| &= |0.89069399 - 0.88936563| approx 0.00132836

Resposta

Após 4 iterações, o zero real aproximado da função barx = 0.89069399 é:
n

Tabela Preenchida

xn-1 xn |xn-xn-1|
1 0.00000000 1.00000000 1.00000000
2 1.00000000 0.89136143 0.10863857
3 0.89136143 0.88936563 0.00199580
4 0.88936563 0.89069399 0.00132836

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