Na copa, Cristiano Ronaldo vai bater um penalti e gosta de bater no ângulo, sem chance para o goleiro (altura 2 m). Dada a equação, y=tan (theta) x-g2 v0^2(cos (theta))^2 x^2+y0, que descreve a trajetória de um corpo lançado, qual o ângulo (theta) para que a bola passe na linha do gol com a altura desejada? Considere a distância da marca do penalti até onde a bola deverá passar x=11 metros, a velocidade inicial da bola (v0) igual a 30 m / s e aceleração da gravidade g=9,8 m / s^2.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício de física sobre a trajetória de uma bola de futebol, que envolve conceitos de cinemática. O Cristiano Ronaldo vai bater um penalti e queremos descobrir qual o ângulo (θ) que a bola deve ser chutada para passar no canto do gol, sem chances para o goleiro. Para resolver isso, vamos precisar usar a equação da trajetória de um projétil e alguns conceitos de trigonometria. Os dados que temos são:
  • Distância até o gol: x = 11 metros
  • Velocidade inicial da bola: v₀ = 30 m/s
  • Aceleração da gravidade: g = 9,8 m/s²
  • Altura desejada no gol: y = 2 metros

Passo 2

Primeiro, vamos entender a equação da trajetória que foi dada:
y = tan(theta) cdot x - g2 v0^2 (cos(theta))^2 cdot x^2 + y0
Aqui, y é a altura da bola em função da distância x. Como o Ronaldo chuta do chão, podemos considerar que y₀ = 0. Então, a equação fica:
y = tan(theta) cdot x - g2 v0^2 (cos(theta))^2 cdot x^2
Nosso objetivo é encontrar o ângulo θ que faz com que, quando x = 11 metros, a altura y seja 2 metros.

Passo 3

Vamos substituir os valores que já conhecemos na equação. Queremos que:
2 = tan(theta) cdot 11 - 9,82 cdot 30^2 cdot (cos(theta))^2 cdot 11^2
Vamos simplificar isso passo a passo.

Passo 4

Primeiro, vamos calcular os termos numéricos:
  • v₀² = 30² = 900
  • 11² = 121
  • A constante multiplicadora no segundo termo:
9,82 cdot 900 = 9,81800 approx 0,005444
Agora, substituindo de volta na equação:
2 = 11 tan(theta) - 0,005444 cdot 1(cos(theta))^2 cdot 121

Passo 5

Simplificando mais:
2 = 11 tan(theta) - 0,005444 cdot 121 cdot 1cos^2(theta)
Calculando 0,005444 * 121:
0,005444 cdot 121 approx 0,658
Então, a equação fica:
2 = 11 tan(theta) - 0,658 cdot 1cos^2(theta)

Passo 6

Abraçando um pouco de trigonometria para simplificar, sabemos que:
1cos^2(theta) = 1 + tan^2(theta)
Vamos chamar tan(θ) de t para facilitar:
1cos^2(theta) = 1 + t^2
Substituindo na equação:
2 = 11t - 0,658(1 + t^2)

Passo 7

Agora, vamos reorganizar a equação para formar uma equação quadrática em termos de t:
2 = 11t - 0,658 - 0,658t^2
Levantando todos os termos para um lado:
0,658t^2 - 11t + (2 + 0,658) = 0
0,658t^2 - 11t + 2,658 = 0

Passo 8

Agora, temos uma equação quadrática do tipo at² + bt + c = 0. Podemos usar a fórmula de Bhaskara para encontrar t:
t = -b pm raizb^2 - 4ac2a
Aqui, a = 0,658, b = -11, e c = 2,658.

Passo 9

Calculando o discriminante (Δ):
De
De
De
De
De
Como o discriminante é positivo, teremos duas soluções reais para t.

Passo 10

Aplicando a fórmula de Bhaskara:
t = 11 pm raiz1142 cdot 0,658
t approx 11 pm 10,681,316
Calculando as duas possibilidades:
  1. Com o sinal positivo:
t approx 21,681,316 approx 16,47
  1. Com o sinal negativo:
t approx 0,321,316 approx 0,243

Passo 11

Agora, vamos interpretar esses valores de t = tan(θ):
  1. Para t ≈ 16,47:
theta = arctan(16,47)
Esse ângulo seria muito vertical, praticamente não prático para um chute de penalti.
  1. Para t ≈ 0,243:
theta = arctan(0,243)
Esse valor é mais realista para um chute de futebol.

Passo 12

Calculando o ângulo realista:
theta = arctan(0,243)
Usando uma calculadora:
theta approx 13,7°

Resposta

O ângulo ideal para que a bola passe na linha do gol com a altura desejada é aproximadamente 13,7 graus.

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