Na copa, Cristiano Ronaldo vai bater um penalti e gosta de bater no ângulo, sem chance para o goleiro (altura 2 m). Dada a equação, , que descreve a trajetória de um corpo lançado, qual o ângulo para que a bola passe na linha do gol com a altura desejada? Considere a distância da marca do penalti até onde a bola deverá passar metros, a velocidade inicial da bola igual a e aceleração da gravidade .
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício de física sobre a trajetória de uma bola de futebol, que envolve conceitos de cinemática. O Cristiano Ronaldo vai bater um penalti e queremos descobrir qual o ângulo (θ) que a bola deve ser chutada para passar no canto do gol, sem chances para o goleiro. Para resolver isso, vamos precisar usar a equação da trajetória de um projétil e alguns conceitos de trigonometria. Os dados que temos são:
Distância até o gol: x = 11 metros
Velocidade inicial da bola: v₀ = 30 m/s
Aceleração da gravidade: g = 9,8 m/s²
Altura desejada no gol: y = 2 metros
Passo 2
Primeiro, vamos entender a equação da trajetória que foi dada:
Aqui, y é a altura da bola em função da distância x. Como o Ronaldo chuta do chão, podemos considerar que y₀ = 0. Então, a equação fica:
Nosso objetivo é encontrar o ângulo θ que faz com que, quando x = 11 metros, a altura y seja 2 metros.
Passo 3
Vamos substituir os valores que já conhecemos na equação. Queremos que:
Vamos simplificar isso passo a passo.
Passo 4
Primeiro, vamos calcular os termos numéricos:
v₀² = 30² = 900
11² = 121
A constante multiplicadora no segundo termo:
Agora, substituindo de volta na equação:
Passo 5
Simplificando mais:
Calculando 0,005444 * 121:
Então, a equação fica:
Passo 6
Abraçando um pouco de trigonometria para simplificar, sabemos que:
Vamos chamar tan(θ) de t para facilitar:
Substituindo na equação:
Passo 7
Agora, vamos reorganizar a equação para formar uma equação quadrática em termos de t:
Levantando todos os termos para um lado:
Passo 8
Agora, temos uma equação quadrática do tipo at² + bt + c = 0. Podemos usar a fórmula de Bhaskara para encontrar t:
Aqui, a = 0,658, b = -11, e c = 2,658.
Passo 9
Calculando o discriminante (Δ):
Como o discriminante é positivo, teremos duas soluções reais para t.
Passo 10
Aplicando a fórmula de Bhaskara:
Calculando as duas possibilidades:
Com o sinal positivo:
Com o sinal negativo:
Passo 11
Agora, vamos interpretar esses valores de t = tan(θ):
Para t ≈ 16,47:
Esse ângulo seria muito vertical, praticamente não prático para um chute de penalti.
Para t ≈ 0,243:
Esse valor é mais realista para um chute de futebol.
Passo 12
Calculando o ângulo realista:
Usando uma calculadora:
Resposta
O ângulo ideal para que a bola passe na linha do gol com a altura desejada é aproximadamente 13,7 graus.