Na copa, Cristiano Ronaldo vai bater um penalti e gosta de bater no ângulo, sem chance para o goleiro (altura 2 m). Dada a equação, , que descreve a trajetória de um corpo lançado, qual o ângulo para que a bola passe na linha do gol com a altura desejada? Considere a distância da marca do penalti até onde a bola deverá passar metros, a velocidade inicial da bola igual a e aceleração da gravidade .

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício de física sobre a trajetória de uma bola de futebol, que envolve conceitos de cinemática. O Cristiano Ronaldo vai bater um penalti e queremos descobrir qual o ângulo (θ) que a bola deve ser chutada para passar no canto do gol, sem chances para o goleiro. Para resolver isso, vamos precisar usar a equação da trajetória de um projétil e alguns conceitos de trigonometria. Os dados que temos são:
  • Distância até o gol: x = 11 metros
  • Velocidade inicial da bola: v₀ = 30 m/s
  • Aceleração da gravidade: g = 9,8 m/s²
  • Altura desejada no gol: y = 2 metros

Passo 2

Primeiro, vamos entender a equação da trajetória que foi dada:
Aqui, y é a altura da bola em função da distância x. Como o Ronaldo chuta do chão, podemos considerar que y₀ = 0. Então, a equação fica:
Nosso objetivo é encontrar o ângulo θ que faz com que, quando x = 11 metros, a altura y seja 2 metros.

Passo 3

Vamos substituir os valores que já conhecemos na equação. Queremos que:
Vamos simplificar isso passo a passo.

Passo 4

Primeiro, vamos calcular os termos numéricos:
  • v₀² = 30² = 900
  • 11² = 121
  • A constante multiplicadora no segundo termo:
Agora, substituindo de volta na equação:

Passo 5

Simplificando mais:
Calculando 0,005444 * 121:
Então, a equação fica:

Passo 6

Abraçando um pouco de trigonometria para simplificar, sabemos que:
Vamos chamar tan(θ) de t para facilitar:
Substituindo na equação:

Passo 7

Agora, vamos reorganizar a equação para formar uma equação quadrática em termos de t:
Levantando todos os termos para um lado:

Passo 8

Agora, temos uma equação quadrática do tipo at² + bt + c = 0. Podemos usar a fórmula de Bhaskara para encontrar t:
Aqui, a = 0,658, b = -11, e c = 2,658.

Passo 9

Calculando o discriminante (Δ):
Como o discriminante é positivo, teremos duas soluções reais para t.

Passo 10

Aplicando a fórmula de Bhaskara:
Calculando as duas possibilidades:
  1. Com o sinal positivo:
  1. Com o sinal negativo:

Passo 11

Agora, vamos interpretar esses valores de t = tan(θ):
  1. Para t ≈ 16,47:
Esse ângulo seria muito vertical, praticamente não prático para um chute de penalti.
  1. Para t ≈ 0,243:
Esse valor é mais realista para um chute de futebol.

Passo 12

Calculando o ângulo realista:
Usando uma calculadora:

Resposta

O ângulo ideal para que a bola passe na linha do gol com a altura desejada é aproximadamente 13,7 graus.

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© A partir do intervalo encontrado no item anterior, refine sua resposta utilizando o método da Secante com um erro relativo de 0,01 ou no máximo duas iterações (calcule o erro relativo a cada iteração).
Considerando a função , calcule o que se pede.
Isole o zero da função num intervalo de extremos inteiros consecutivos .
0 1 2 3
Resposta:
Considerando a função , calcule o que se pede.
Utilizando os resultados do item anterior, encontre o zero real da função com o método de NewtonRaphson:
com precisão . No preenchimento da tabela abaixo e no resultado, arredondar em 8 casas decimais.
1
2
3
4
Resposta:
Resolva o sistema fazendo 4 iterações pelo método de Gauss-Seidel com e determine o erro para as 4 iterações. Em toda a tabela, fazer o arredondamento com precisão de casas decimais.

0
1
2
3
4