Na copa, Cristiano Ronaldo vai bater um penalti e gosta de bater no ângulo, sem chance para o goleiro (altura 2 m). Dada a equação,
, que descreve a trajetória de um corpo lançado, qual o ângulo
para que a bola passe na linha do gol com a altura desejada? Considere a distância da marca do penalti até onde a bola deverá passar
metros, a velocidade inicial da bola
igual a
e aceleração da gravidade
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício de física sobre a trajetória de uma bola de futebol, que envolve conceitos de cinemática. O Cristiano Ronaldo vai bater um penalti e queremos descobrir qual o ângulo
(θ)
que a bola deve ser chutada para passar no canto do gol, sem chances para o goleiro. Para resolver isso, vamos precisar usar a equação da trajetória de um projétil e alguns conceitos de trigonometria. Os dados que temos são:- Distância até o gol:
x = 11
metros - Velocidade inicial da bola:
v₀ = 30 m/s
- Aceleração da gravidade:
g = 9,8 m/s²
- Altura desejada no gol:
y = 2
metros
Passo 2
Primeiro, vamos entender a equação da trajetória que foi dada:
Aqui,
y
é a altura da bola em função da distância x
. Como o Ronaldo chuta do chão, podemos considerar que y₀ = 0
. Então, a equação fica:Nosso objetivo é encontrar o ângulo
θ
que faz com que, quando x = 11
metros, a altura y
seja 2 metros.Passo 3
Vamos substituir os valores que já conhecemos na equação. Queremos que:
Vamos simplificar isso passo a passo.
Passo 4
Primeiro, vamos calcular os termos numéricos:
v₀² = 30² = 900
11² = 121
- A constante multiplicadora no segundo termo:
Agora, substituindo de volta na equação:
Passo 5
Simplificando mais:
Calculando
0,005444 * 121
:Então, a equação fica:
Passo 6
Abraçando um pouco de trigonometria para simplificar, sabemos que:
Vamos chamar
tan(θ)
de t
para facilitar:Substituindo na equação:
Passo 7
Agora, vamos reorganizar a equação para formar uma equação quadrática em termos de
t
:Levantando todos os termos para um lado:
Passo 8
Agora, temos uma equação quadrática do tipo
at² + bt + c = 0
. Podemos usar a fórmula de Bhaskara para encontrar t
:Aqui,
a = 0,658
, b = -11
, e c = 2,658
.Passo 9
Calculando o discriminante (
Δ
):Como o discriminante é positivo, teremos duas soluções reais para
t
.Passo 10
Aplicando a fórmula de Bhaskara:
Calculando as duas possibilidades:
- Com o sinal positivo:
- Com o sinal negativo:
Passo 11
Agora, vamos interpretar esses valores de
t = tan(θ)
:- Para
t ≈ 16,47
:
Esse ângulo seria muito vertical, praticamente não prático para um chute de penalti.
- Para
t ≈ 0,243
:
Esse valor é mais realista para um chute de futebol.
Passo 12
Calculando o ângulo realista:
Usando uma calculadora:
Resposta
O ângulo ideal para que a bola passe na linha do gol com a altura desejada é aproximadamente 13,7 graus.