Para se fazer uma boa pizza de carne de jacaré com molho de jaca é essencial introduzir a pizza quando o forno estiver com a temperatura exata de . Dado que a função que descreve o aquecimento do forno é dada por
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O problema fala sobre encontrar o momento exato em que a temperatura do forno atinge para colocar a pizza de carne de jacaré com molho de jaca. Isso envolve conceitos de funções e métodos numéricos para encontrar raízes de equações. Vamos precisar usar a função dada para a temperatura, identificar um intervalo onde a solução está e aplicar os métodos da bisseção e da secante para refinar essa solução.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a função que descreve a temperatura do forno:
Queremos encontrar o valor de que faz . Isso é equivalente a resolver a equação:
Para encontrar um intervalo onde essa equação tenha solução, vamos avaliar para alguns valores de até encontrarmos um onde a função muda de sinal (ou seja, passa de menor que 86,7 para maior, ou vice-versa).
Vamos tentar com segundos:
Ainda menor que 86,7. Agora, com segundos:
Agora, a temperatura passou de 81,19 para 130,06, ou seja, cruzou 86,7. Então, o intervalo que contém o tempo em que a pizza deve ser inserida é entre e segundos.
Passo 3
Agora vamos usar o método da bisseção para reduzir esse intervalo. O método da bisseção funciona dividindo o intervalo atual ao meio e verificando em qual subintervalo a função muda de sinal. Repetimos esse processo para afunilar a solução.
Primeira iteração:
Intervalo inicial:
Ponto médio:
Calculamos :
Como , a raiz está entre e .
Segunda iteração:
Novo intervalo:
Ponto médio:
Calculamos :
Como , a raiz está entre e .
Passo 4
Agora, vamos refinar ainda mais usando o método da Secante, que utiliza duas aproximações iniciais para encontrar uma melhor estimativa da raiz. Vamos parar quando o erro relativo for de no máximo ou após duas iterações.
Usamos os pontos e com suas respectivas funções:
Calculando :
E :
Primeira iteração da Secante:
Calculando:
Calculamos :
Erro relativo:
Como o erro está abaixo de , podemos parar aqui.
Resposta
O tempo necessário para inserir a pizza no forno é aproximadamente segundos.