Para se fazer uma boa pizza de carne de jacaré com molho de jaca é essencial introduzir a pizza quando o forno estiver com a temperatura exata de 86,7^circ. Dado que a função que descreve o aquecimento do forno é dada por
T(t)=e^t3+t^22+raizt
onde T é a temperatura, em graus centígrados, e t é o tempo, em segundos, faça o que se pede:
(0,5) (a) Determine um intervalo que contenha o tempo no qual a pizza deve ser inserida no forno.
(b) Utilize duas iterações do método da bisseção para reduzir o intervalo calculado no item anterior.
© A partir do intervalo encontrado no item anterior, refine sua resposta utilizando o método da Secante com um erro relativo de 0,01 ou no máximo duas iterações (calcule o erro relativo a cada iteração).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O problema fala sobre encontrar o momento exato em que a temperatura do forno atinge 86,7^circ para colocar a pizza de carne de jacaré com molho de jaca. Isso envolve conceitos de funções e métodos numéricos para encontrar raízes de equações. Vamos precisar usar a função dada para a temperatura, identificar um intervalo onde a solução está e aplicar os métodos da bisseção e da secante para refinar essa solução.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a função que descreve a temperatura do forno:
T(t) = e^t3 + t^22 + raizt
Queremos encontrar o valor de t que faz T(t) = 86,7. Isso é equivalente a resolver a equação:
e^t3 + t^22 + raizt - 86,7 = 0
Para encontrar um intervalo onde essa equação tenha solução, vamos avaliar T(t) para alguns valores de t até encontrarmos um onde a função muda de sinal (ou seja, passa de menor que 86,7 para maior, ou vice-versa).
Vamos tentar com t = 10 segundos:
T(10) = e^103 + 10^22 + raiz10 approx e^33 + 50 + 3.16 approx 28.03 + 50 + 3.16 = 81.19
Ainda menor que 86,7. Agora, com t = 12 segundos:
T(12) = e^4 + 1442 + raiz12 approx 54.60 + 72 + 3.46 = 130.06
Agora, a temperatura passou de 81,19 para 130,06, ou seja, cruzou 86,7. Então, o intervalo que contém o tempo em que a pizza deve ser inserida é entre t = 10 e t = 12 segundos.

Passo 3

Agora vamos usar o método da bisseção para reduzir esse intervalo. O método da bisseção funciona dividindo o intervalo atual ao meio e verificando em qual subintervalo a função muda de sinal. Repetimos esse processo para afunilar a solução.
Primeira iteração:
Intervalo inicial: [10, 12]
Ponto médio: tm = 10 + 122 = 11
Calculamos T(11):
T(11) = e^113 + 1212 + raiz11 approx e^36 + 60.5 + 3.32 approx 39.12 + 60.5 + 3.32 = 102.94
Como T(11) = 102.94 > 86.7, a raiz está entre 10 e 11.
Segunda iteração:
Novo intervalo: [10, 11]
Ponto médio: tm = 10 + 112 = 10.5
Calculamos T(10.5):
T(10.5) = e^10.53 + (10.5)^22 + raiz10.5 approx e^3.5 + 55.125 + 3.24 approx 33.12 + 55.125 + 3.24 = 91.49
Como T(10.5) = 91.49 > 86.7, a raiz está entre 10 e 10.5.

Passo 4

Agora, vamos refinar ainda mais usando o método da Secante, que utiliza duas aproximações iniciais para encontrar uma melhor estimativa da raiz. Vamos parar quando o erro relativo for de no máximo 1% ou após duas iterações.
Usamos os pontos t1 = 10 e t2 = 10.5 com suas respectivas funções:
f(t) = T(t) - 86.7
Calculando f(10):
f(10) = 81.19 - 86.7 = -5.51
E f(10.5):
f(10.5) = 91.49 - 86.7 = 4.79
Primeira iteração da Secante:
t3 = t2 - f(t2) cdot t2 - t1f(t2) - f(t1) = 10.5 - 4.79 cdot 10.5 - 104.79 - (-5.51)
Calculando:
t3 approx 10.5 - 4.79 cdot 0.510.3 approx 10.5 - 4.79 cdot 0.0485 approx 10.5 - 0.232 = 10.268
Calculamos f(10.268):
T(10.268) approx e^10.268/3 + 10.268^22 + raiz10.268 approx e^3.4227 + 52.75 + 3.205 approx 30.62 + 52.75 + 3.205 = 86.57
Erro relativo:
Erro = | 86.57 - 86.786.7 | approx 0.0017 ou 0.17%
Como o erro está abaixo de 1%, podemos parar aqui.

Resposta

O tempo necessário para inserir a pizza no forno é aproximadamente 10,27 segundos.

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