Considerando que o método da bisseção seja utilizado para encontrar a raiz da equação x^2=3 partindo do intervalo [1 ; 2] e que a condição de parada seja a largura do intervalo de trabalho inferior a 10^-4, quantas interações são necessárias para que tal condição seja satisfeita? Considere que o intervalo inicial [1 ; 2] já corresponde à iteração 1. Note que a resposta deve ser um número inteiro.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos usar o método da bisseção para encontrar a raiz da equação no intervalo inicial . A ideia é dividir esse intervalo pela metade repetidamente até que a largura do intervalo seja menor que . O conteúdo envolvido aqui é o método numérico da bisseção, que é uma técnica para encontrar raízes de funções.

Passo 2

O método da bisseção funciona assim: a cada iteração, calculamos o ponto médio do intervalo atual e verificamos em qual subintervalo a raiz está localizada, substituindo o intervalo atual por esse subintervalo. A largura do intervalo diminui pela metade em cada passo. A condição de parada que temos é que a largura do intervalo seja menor que .

Passo 3

Vamos determinar quantas vezes precisamos dividir o intervalo inicial 12^n < 10^-4 , que tem uma largura de , pela metade até que a largura seja menor que . A largura após iterações será:

Passo 4

Para encontrar - n cdot ln(2) < ln(10^-4) , tomamos o logaritmo de ambos os lados da desigualdade:
n > ln(10^4)ln(2)
Isso simplifica para:

Passo 5

Calculando os valores numéricos:
ln(10^4) = 4 cdot ln(10) approx 4 cdot 2,302585 = 9,21034
ln(2) approx 0,693147
n > 9,210340,693147 approx 13,2877

Passo 6

Como n = 14 precisa ser um número inteiro, arredondamos para cima:
Isso significa que são necessárias 14 iterações para que a largura do intervalo seja menor que .

Resposta

14

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