Considerando que o método da bisseção seja utilizado para encontrar a raiz da equação partindo do intervalo e que a condição de parada seja a largura do intervalo de trabalho inferior a , quantas interações são necessárias para que tal condição seja satisfeita? Considere que o intervalo inicial já corresponde à iteração 1. Note que a resposta deve ser um número inteiro.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos usar o método da bisseção para encontrar a raiz da equação no intervalo inicial . A ideia é dividir esse intervalo pela metade repetidamente até que a largura do intervalo seja menor que . O conteúdo envolvido aqui é o método numérico da bisseção, que é uma técnica para encontrar raízes de funções.

Passo 2

O método da bisseção funciona assim: a cada iteração, calculamos o ponto médio do intervalo atual e verificamos em qual subintervalo a raiz está localizada, substituindo o intervalo atual por esse subintervalo. A largura do intervalo diminui pela metade em cada passo. A condição de parada que temos é que a largura do intervalo seja menor que .

Passo 3

Vamos determinar quantas vezes precisamos dividir o intervalo inicial , que tem uma largura de , pela metade até que a largura seja menor que . A largura após iterações será:

Passo 4

Para encontrar , tomamos o logaritmo de ambos os lados da desigualdade:
Isso simplifica para:

Passo 5

Calculando os valores numéricos:

Passo 6

Como precisa ser um número inteiro, arredondamos para cima:
Isso significa que são necessárias 14 iterações para que a largura do intervalo seja menor que .

Resposta

14

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Use os métodos númericos pedidos abaixo, cada um com as condições informadas, para encontrar a estimativa do zero positivo da função tomando como critério de parada o erro absoluto menor do que .
(d) Secante com estimativas iniciais e .
Seja a função . O intervalo é tal que . Explique por que esse intervalo não pode ser usado como condição inicial para o método da bisseção.
Use os métodos númericos pedidos abaixo, cada um com as condições informadas, para encontrar a estimativa do zero positivo da função tomando como critério de parada o erro absoluto menor do que .
(e) Ponto fixo com estimativa inicial 1 e função de iteração .
Considere a função . Escreva a equação iterativa do método de Newton para encontrar o zero dessa função e indique um valor positivo de que não podem ser usado como condição inicial.