Considere a função . Escreva a equação iterativa do método de Newton para encontrar o zero dessa função e indique um valor positivo de que não podem ser usado como condição inicial.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão nos pede para usar o método de Newton para encontrar um zero da função . Vamos precisar conhecer o método de Newton, que é uma técnica para encontrar raízes de equações, ou seja, valores de onde .

Passo 2

Primeiro, lembrando do método de Newton: a fórmula iterativa é dada por
Aqui, é a derivada da função .

Passo 3

Vamos calcular a derivada de . Temos
Aplicando a regra da cadeia, a derivada fica:
Então,

Passo 4

Agora, substituímos e na fórmula do método de Newton:
Simplificando os sinais:

Passo 5

Por fim, precisamos indicar um valor positivo de que não pode ser usado como condição inicial. Observe que se , o denominador da fórmula do Newton fica zero, o que não é permitido. Isso ocorre quando
é
Simplificando:
Então, um valor positivo que não pode ser usado é .

Resposta

A equação iterativa do método de Newton é
Um valor positivo que não pode ser usado como condição inicial é .

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Use os métodos númericos pedidos abaixo, cada um com as condições informadas, para encontrar a estimativa do zero positivo da função tomando como critério de parada o erro absoluto menor do que .
(e) Ponto fixo com estimativa inicial 1 e função de iteração .
Considerando que o método da bisseção seja utilizado para encontrar a raiz da equação partindo do intervalo e que a condição de parada seja a largura do intervalo de trabalho inferior a , quantas interações são necessárias para que tal condição seja satisfeita? Considere que o intervalo inicial já corresponde à iteração 1. Note que a resposta deve ser um número inteiro.
Converter os seguintes números binários para a forma decimal:
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