Considere a função f(x)=cos (2 pi x^2 / 3). Escreva a equação iterativa do método de Newton para encontrar o zero dessa função e indique um valor positivo de x que não podem ser usado como condição inicial.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão nos pede para usar o método de Newton para encontrar um zero da função . Vamos precisar conhecer o método de Newton, que é uma técnica para encontrar raízes de equações, ou seja, valores de onde .

Passo 2

Primeiro, lembrando do método de Newton: a fórmula iterativa é dada por
xn+1 = xn - f(xn)f'(xn)
Aqui, é a derivada da função .

Passo 3

Vamos calcular a derivada de f(x) = cos(2pi x^23) . Temos
f'(x) = -sin(2pi x^23) cdot 4pi x3
Aplicando a regra da cadeia, a derivada fica:
f'(x) = -4pi x3 sin(2pi x^23)
Então,

Passo 4

Agora, substituímos xn+1 = xn - cos(2pi xn^23)-4pi xn3 sin(2pi xn^23) e xn+1 = xn + 3 cos(2pi xn^23)4pi xn sin(2pi xn^23) na fórmula do método de Newton:
Simplificando os sinais:

Passo 5

Por fim, precisamos indicar um valor positivo de 2pi x^23 = kpi onde k é inteiro que não pode ser usado como condição inicial. Observe que se x = raiz3k2 , o denominador da fórmula do Newton fica zero, o que não é permitido. Isso ocorre quando
é
Simplificando:
Então, um valor positivo que não pode ser usado é .

Resposta

A equação iterativa do método de Newton é
xn+1 = xn + 3 cos(2pi xn^23)4pi xn sin(2pi xn^23)
Um valor positivo que não pode ser usado como condição inicial é .

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