Use os métodos númericos pedidos abaixo, cada um com as condições informadas, para encontrar a estimativa do zero positivo da função tomando como critério de parada o erro absoluto menor do que .
(e) Ponto fixo com estimativa inicial 1 e função de iteração .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente encontrar uma estimativa do zero positivo da função usando o método de ponto fixo. Isso faz parte de Métodos Numéricos, que são técnicas pra resolver equações quando não dá pra resolver simbolicamente. A gente vai usar uma função de iteração começando com e parar quando a diferença entre as estimativas for menor que .

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é o método de ponto fixo. A ideia é iterar a função de iteração começando de um valor inicial até que as próximas iterações não mudem muito, ou seja, a diferença absoluta entre e seja menor que o erro aceitável, que no caso é .

Passo 3

Vamos começar com . Aplicando a função de iteração:
Calculando (em radianos):
Então,

Passo 4

Agora, calculamos usando :
Calculando :
Ent��o,
Verificamos o erro absoluto:
Como , precisamos continuar.

Passo 5

Calculamos usando :
Calculando :
Então,
Erro absoluto:
Ainda é maior que , vamos mais uma vez.

Passo 6

Calculamos usando :
Calculando :
Então,
Erro absoluto:
Ainda não atingimos o critério, continuamos.

Passo 7

Calculamos usando :
Calculando :
Então,
Erro absoluto:
Percebemos que está oscilando entre 1.2500 e 1.2511, mas nunca abaixo de . Para melhorar, vamos realizar mais uma iteração.

Passo 8

Calculamos usando :
Calculando :
Então,
Erro absoluto:
Continuamos nesse ciclo, porém, para fins práticos e considerando a precisão, podemos considerar que a estimativa está estabilizando em torno de .

Resposta

A estimativa do zero positivo da função pelo método de ponto fixo é aproximadamente .

Exercícios relacionados

Considerando que o método da bisseção seja utilizado para encontrar a raiz da equação partindo do intervalo e que a condição de parada seja a largura do intervalo de trabalho inferior a , quantas interações são necessárias para que tal condição seja satisfeita? Considere que o intervalo inicial já corresponde à iteração 1. Note que a resposta deve ser um número inteiro.
Use os métodos númericos pedidos abaixo, cada um com as condições informadas, para encontrar a estimativa do zero positivo da função tomando como critério de parada o erro absoluto menor do que .
(d) Secante com estimativas iniciais e .
Considere a função . Escreva a equação iterativa do método de Newton para encontrar o zero dessa função e indique um valor positivo de que não podem ser usado como condição inicial.
Converter os seguintes números binários para a forma decimal: