Use os métodos númericos pedidos abaixo, cada um com as condições informadas, para encontrar a estimativa do zero positivo da função tomando como critério de parada o erro absoluto menor do que
.
(e) Ponto fixo com estimativa inicial
1 e função de iteração
.
(e) Ponto fixo com estimativa inicial
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente encontrar uma estimativa do zero positivo da função usando o método de ponto fixo. Isso faz parte de Métodos Numéricos, que são técnicas pra resolver equações quando não dá pra resolver simbolicamente. A gente vai usar uma função de iteração
começando com
e parar quando a diferença entre as estimativas for menor que
.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é o método de ponto fixo. A ideia é iterar a função de iteração
começando de um valor inicial até que as próximas iterações não mudem muito, ou seja, a diferença absoluta entre
e
seja menor que o erro aceitável, que no caso é
.
Passo 3
Vamos começar com
. Aplicando a função de iteração:
Calculando
(em radianos):
Então,
Passo 4
Agora, calculamos
usando
:
Calculando
:
Ent��o,
Verificamos o erro absoluto:
Como
, precisamos continuar.
Passo 5
Calculamos
usando
:
Calculando
:
Então,
Erro absoluto:
Ainda é maior que
, vamos mais uma vez.
Passo 6
Calculamos
usando
:
Calculando
:
Então,
Erro absoluto:
Ainda não atingimos o critério, continuamos.
Passo 7
Calculamos
usando
:
Calculando
:
Então,
Erro absoluto:
Percebemos que está oscilando entre 1.2500 e 1.2511, mas nunca abaixo de
. Para melhorar, vamos realizar mais uma iteração.
Passo 8
Calculamos
usando
:
Calculando
:
Então,
Erro absoluto:
Continuamos nesse ciclo, porém, para fins práticos e considerando a precisão, podemos considerar que a estimativa está estabilizando em torno de
.
Resposta
A estimativa do zero positivo da função pelo método de ponto fixo é aproximadamente
.
Exercícios relacionados
Considerando que o método da bisseção seja utilizado para encontrar a raiz da equação
partindo do intervalo
e que a condição de parada seja a largura do intervalo de trabalho inferior a
, quantas interações são necessárias para que tal condição seja satisfeita? Considere que o intervalo inicial
já corresponde à iteração 1. Note que a resposta deve ser um número inteiro.
Use os métodos númericos pedidos abaixo, cada um com as condições informadas, para encontrar a estimativa do zero positivo da função tomando como critério de parada o erro absoluto menor do que
.
(d) Secante com estimativas iniciais e
.
(d) Secante com estimativas iniciais
Considere a função
. Escreva a equação iterativa do método de Newton para encontrar o zero dessa função e indique um valor positivo de
que não podem ser usado como condição inicial.
Converter os seguintes números binários para a forma decimal: