Seja I=integral1^2 e^2 x d x. Use n=4 na regra dos trapézios repetida para aproximar I.

Passo 1

Beleza, vamos calcular a integral usando a regra dos trapézios com . A regra dos trapézios é uma técnica de aproximação para integrais definidas que divide a área sob a curva em trapézios e soma suas áreas. Para isso, precisamos dividir o intervalo de integração em 4 subintervalos iguais.

Passo 2

Primeiro, vamos determinar o tamanho de cada subintervalo, h = b - an . A fórmula para h = 2 - 14 = 14 = 0,25 é:
Aqui, , , e :

Passo 3

Agora, vamos identificar os pontos onde vamos avaliar a função x0 = 1, x1 = 1 + h = 1,25, x2 = 1 + 2h = 1,5, x3 = 1 + 3h = 1,75, x4 = 2 . Esses pontos são:

Passo 4

Em seguida, calculamos os valores da função f(x0) = e^2 times 1 = e^2 approx 7,3891 nesses pontos:
f(x1) = e^2 times 1,25 = e^2,5 approx 12,1825
f(x2) = e^2 times 1,5 = e^3 approx 20,0855
f(x3) = e^2 times 1,75 = e^3,5 approx 33,1155
f(x4) = e^2 times 2 = e^4 approx 54,5982

Passo 5

Agora, aplicamos a fórmula da regra dos trapézios repetida:
I approx h2 [ f(x0) + 2f(x1) + 2f(x2) + 2f(x3) + f(x4) ]
Substituindo os valores:
I approx 0,252 [ 7,3891 + 2(12,1825) + 2(20,0855) + 2(33,1155) + 54,5982 ]

Passo 6

Vamos calcular dentro dos colchetes:
7,3891 + 2(12,1825) = 7,3891 + 24,365 = 31,7541
31,7541 + 2(20,0855) = 31,7541 + 40,171 = 71,9251
71,9251 + 2(33,1155) = 71,9251 + 66,231 = 138,1561
138,1561 + 54,5982 = 192,7543

Passo 7

Agora, multiplicamos pelo I approx 0,252 times 192,7543 = 0,125 times 192,7543 approx 24,0943 :

Resposta

A aproximação da integral usando a regra dos trapézios com é aproximadamente 24,0943.

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