Considerando-se que sen(a+b)=sen a cos b+sen b cos a e
cos (a+b)=cos a cos b-sen a sen b
determine sen(3 x) e cos (3 x) em termos de sen x e cos x.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar as expressões de sen(3x) e cos(3x) em função de senx e cos x. Para isso, vamos usar as fórmulas de soma para seno e cosseno que você viu no enunciado. Essas fórmulas nos ajudam a expandir funções trigonométricas de ângulos compostos.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar sen(3x). Podemos pensar em 3x como a soma de 2x e x, ou seja, 3x = 2x + x. Usando a fórmula da soma para o seno:
sen(a + b) = sena cos b + senb cos a
Substituindo a por 2x e b por x, temos:
sen(3x) = sen(2x + x) = sen(2x) cos x + senx cos(2x)

Passo 3

Agora, precisamos expressar sen(2x) e cos(2x) em termos de senx e cos x. Vamos usar as fórmulas do ângulo duplo:
sen(2x) = 2 senx cos x
cos(2x) = cos^2 x - sen^2 x
Substituindo essas expressões na equação anterior:
sen(3x) = (2 senx cos x) cos x + senx (cos^2 x - sen^2 x)

Passo 4

Vamos simplificar a expressão:
sen(3x) = 2 senx cos^2 x + senx cos^2 x - senx^3
Somando os termos semelhantes:
sen(3x) = 3 senx cos^2 x - sen^3 x
Também podemos fatorar senx:
sen(3x) = senx (3 cos^2 x - sen^2 x)
Como sabemos que cos^2 x = 1 - sen^2 x, podemos substituir:
sen(3x) = senx (3 (1 - sen^2 x) - sen^2 x) = 3 senx - 4 sen^3 x

Passo 5

Agora, vamos determinar cos(3x). Similarmente, pensamos em 3x = 2x + x e usamos a fórmula da soma para o cosseno:
cos(a + b) = cos a cos b - sena senb
Substituindo a por 2x e b por x:
cos(3x) = cos(2x + x) = cos(2x) cos x - sen(2x) senx

Passo 6

Substituindo as expressões de cos(2x) e sen(2x) que já conhecemos:
cos(3x) = (cos^2 x - sen^2 x) cos x - (2 senx cos x) senx
Simplificando:
cos(3x) = cos^3 x - sen^2 x cos x - 2 sen^2 x cos x
cos(3x) = cos^3 x - 3 sen^2 x cos x

Passo 7

Podemos também expressar tudo em termos de cos x usando sen^2 x = 1 - cos^2 x:
cos(3x) = cos^3 x - 3 (1 - cos^2 x) cos x = 4 cos^3 x - 3 cos x

Resposta

Portanto, as expressões finais são:
sen(3x) = 3 senx - 4 sen^3 x
e
cos(3x) = 4 cos^3 x - 3 cos x

Exercícios relacionados