Identifique todos os números reais,
, tais que
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para encontrar todos os números reais
que satisfazem a inequação
. Estamos lidando com valores absolutos, que são fundamentais na matemática para representar a distância de um número até zero na reta numérica. Para resolver isso, vamos analisar os diferentes casos onde as expressões dentro dos valores absolutos mudam de sinal.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar os pontos onde as expressões dentro dos valores absolutos se igualam a zero, ou seja,
e
. Resolvendo essas equações:
Esses pontos,
e
, são onde os sinais das expressões dentro dos valores absolutos podem mudar. Portanto, vamos dividir a reta numérica em três intervalos baseados nesses pontos:
Passo 3
Vamos analisar cada intervalo separadamente para resolver a inequação
.
1. Intervalo
:
Nesse intervalo,
é negativo e
também é negativo. Assim:
Substituindo na inequação:
Isso é sempre verdadeiro. Portanto, todo
satisfaz a inequação.
2. Intervalo
:
Aqui,
é não negativo e
é negativo. Então:
Substituindo na inequação:
Resolvendo para
:
Dentro deste intervalo
, a solução é
.
3. Intervalo
:
Neste caso, tanto
quanto
são não negativos. Assim:
Substituindo:
Isso não é verdadeiro, então não há soluções neste intervalo.
Resposta
Os números reais que satisfazem a inequação
são todos
tais que: