Identifique todos os números reais, x, tais que |x+5|-|x-3|<0

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para encontrar todos os números reais que satisfazem a inequação . Estamos lidando com valores absolutos, que são fundamentais na matemática para representar a distância de um número até zero na reta numérica. Para resolver isso, vamos analisar os diferentes casos onde as expressões dentro dos valores absolutos mudam de sinal.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os pontos onde as expressões dentro dos valores absolutos se igualam a zero, ou seja, x + 5 = 0 Rightarrow x = -5 e x - 3 = 0 Rightarrow x = 3 . Resolvendo essas equações:
Esses pontos, e , são onde os sinais das expressões dentro dos valores absolutos podem mudar. Portanto, vamos dividir a reta numérica em três intervalos baseados nesses pontos:

Passo 3

Vamos analisar cada intervalo separadamente para resolver a inequação |x + 5| = -(x + 5) = -x - 5 .
1. Intervalo |x - 3| = -(x - 3) = -x + 3 :
Nesse intervalo, (-x - 5) - (-x + 3) < 0 Rightarrow -x - 5 + x - 3 < 0 Rightarrow -8 < 0 é negativo e |x + 5| = x + 5 também é negativo. Assim:
|x - 3| = -(x - 3) = -x + 3
(x + 5) - (-x + 3) < 0 Rightarrow x + 5 + x - 3 < 0 Rightarrow 2x + 2 < 0
Substituindo na inequação:
2x + 2 < 0 Rightarrow 2x < -2 Rightarrow x < -1
Isso é sempre verdadeiro. Portanto, todo |x + 5| = x + 5 satisfaz a inequação.
2. Intervalo |x - 3| = x - 3 :
Aqui, (x + 5) - (x - 3) < 0 Rightarrow x + 5 - x + 3 < 0 Rightarrow 8 < 0 é não negativo e é negativo. Então:
Substituindo na inequação:
Resolvendo para :
Dentro deste intervalo , a solução é .
3. Intervalo :
Neste caso, tanto quanto são não negativos. Assim:
Substituindo:
Isso não é verdadeiro, então não há soluções neste intervalo.

Resposta

Os números reais que satisfazem a inequação x < -1 são todos tais que:

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