Identifique todos os números reais, , tais que
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para encontrar todos os números reais que satisfazem a inequação . Estamos lidando com **valores absolutos**, que são fundamentais na matemática para representar a distância de um número até zero na reta numérica. Para resolver isso, vamos analisar os diferentes casos onde as expressões dentro dos valores absolutos mudam de sinal.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar os pontos onde as expressões dentro dos valores absolutos se igualam a zero, ou seja, e . Resolvendo essas equações:
Esses pontos, e , são onde os sinais das expressões dentro dos valores absolutos podem mudar. Portanto, vamos dividir a reta numérica em três intervalos baseados nesses pontos:
1.
2.
3.
Passo 3
Vamos analisar cada intervalo separadamente para resolver a inequação .
**1. Intervalo :**
Nesse intervalo, é negativo e também é negativo. Assim:
Substituindo na inequação:
Isso é sempre verdadeiro. Portanto, todo satisfaz a inequação.
**2. Intervalo :**
Aqui, é não negativo e é negativo. Então:
Substituindo na inequação:
Resolvendo para :
Dentro deste intervalo , a solução é .
**3. Intervalo :**
Neste caso, tanto quanto são não negativos. Assim:
Substituindo:
Isso não é verdadeiro, então não há soluções neste intervalo.
Resposta
Os números reais que satisfazem a inequação são todos tais que:
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Identifique todos os números reais, , tais que
Considerando-se que
determine e em termos de e .
Mostre como se pode, sem usar uma calculadora e sem fazer muitas contas ou aproximações dos valores, colocar em ordem crescente os números a seguir:
Determine quantas são as soluções da equação .