Identifique todos os números reais, , tais que

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para encontrar todos os números reais que satisfazem a inequação . Estamos lidando com **valores absolutos**, que são fundamentais na matemática para representar a distância de um número até zero na reta numérica. Para resolver isso, vamos analisar os diferentes casos onde as expressões dentro dos valores absolutos mudam de sinal.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os pontos onde as expressões dentro dos valores absolutos se igualam a zero, ou seja, e . Resolvendo essas equações: Esses pontos, e , são onde os sinais das expressões dentro dos valores absolutos podem mudar. Portanto, vamos dividir a reta numérica em três intervalos baseados nesses pontos: 1. 2. 3.

Passo 3

Vamos analisar cada intervalo separadamente para resolver a inequação . **1. Intervalo :** Nesse intervalo, é negativo e também é negativo. Assim: Substituindo na inequação: Isso é sempre verdadeiro. Portanto, todo satisfaz a inequação. **2. Intervalo :** Aqui, é não negativo e é negativo. Então: Substituindo na inequação: Resolvendo para : Dentro deste intervalo , a solução é . **3. Intervalo :** Neste caso, tanto quanto são não negativos. Assim: Substituindo: Isso não é verdadeiro, então não há soluções neste intervalo.

Resposta

Os números reais que satisfazem a inequação são todos tais que:

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Considerando-se que determine e em termos de e .
Mostre como se pode, sem usar uma calculadora e sem fazer muitas contas ou aproximações dos valores, colocar em ordem crescente os números a seguir:
Determine quantas são as soluções da equação .