Considerando que: x=x(s, t)=s+t^2 e y=y(s, t)=2 t-s, use a regra da cadeia para encontrar partial fpartial s e fpartial t em:
f(x, y)=x^2 y-ln (x^2+y^2)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! Aqui, a gente precisa encontrar as derivadas parciais de em relação a e usando a regra da cadeia. A matéria envolvida é Cálculo Diferencial, mais especificamente derivadas parciais e a aplicação da regra da cadeia para funções compostas. Para isso, vamos precisar entender como depende de e , e como e dependem de e .

Passo 2

Primeiro, vamos escrever as funções que estamos lidando:
x = s + t^2
y = 2t - s
f(x, y) = x^2 y - ln(x^2 + y^2)
Nosso objetivo é encontrar e .

Passo 3

Para encontrar partial fpartial s = partial fpartial x cdot partial xpartial s + partial fpartial y cdot partial ypartial s e partial fpartial t = partial fpartial x cdot partial xpartial t + partial fpartial y cdot partial ypartial t , vamos aplicar a regra da cadeia, que nos permite derivar funções compostas. A regra geral para uma função onde e dependem de outras variáveis ( e ) é:

Passo 4

Vamos começar calculando as derivadas parciais de partial xpartial s = 1 (porque ( x = s + t^2 )) e partial xpartial t = 2t em relação a partial ypartial s = -1 (porque ( y = 2t - s )) e partial ypartial t = 2 :

Passo 5

Agora, vamos encontrar as derivadas parciais de partial fpartial x = partialpartial x( x^2 y - ln(x^2 + y^2) ) = 2xy - 2xx^2 + y^2 em relação a partial fpartial y = partialpartial y( x^2 y - ln(x^2 + y^2) ) = x^2 - 2yx^2 + y^2 e :
Primeiro, derivada de em relação a :
Em seguida, derivada de em relação a :

Passo 6

Agora que temos todas as derivadas necessárias, vamos aplicar a regra da cadeia para encontrar partial fpartial s = partial fpartial x cdot partial xpartial s + partial fpartial y cdot partial ypartial s :
= (2xy - 2xx^2 + y^2) cdot 1 + (x^2 - 2yx^2 + y^2) cdot (-1)
= 2xy - 2xx^2 + y^2 - x^2 + 2yx^2 + y^2
= -x^2 + 2xy + (-2xx^2 + y^2 + 2yx^2 + y^2)
Simplificando:
= -x^2 + 2xy + 2(y - x)x^2 + y^2

Passo 7

Agora, vamos encontrar partial fpartial t = partial fpartial x cdot partial xpartial t + partial fpartial y cdot partial ypartial t :
= (2xy - 2xx^2 + y^2) cdot 2t + (x^2 - 2yx^2 + y^2) cdot 2
= 2t cdot 2xy - 2t cdot 2xx^2 + y^2 + 2 cdot x^2 - 2 cdot 2yx^2 + y^2
= 4txy - 4txx^2 + y^2 + 2x^2 - 4yx^2 + y^2

Passo 8

Finalmente, podemos expressar as derivadas parciais de partial fpartial s = -x^2 + 2xy + 2(y - x)x^2 + y^2 em relação a partial fpartial t = 4txy - 4txx^2 + y^2 + 2x^2 - 4yx^2 + y^2 e :

Resposta

As derivadas parciais usando a regra da cadeia são:
partial fpartial s = -x^2 + 2xy + 2(y - x)x^2 + y^2
partial fpartial t = 4txy - 4txx^2 + y^2 + 2x^2 - 4yx^2 + y^2

Exercícios relacionados