Considerando que: e , use a regra da cadeia para encontrar e em:

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! Aqui, a gente precisa encontrar as derivadas parciais de em relação a e usando a regra da cadeia. A matéria envolvida é Cálculo Diferencial, mais especificamente derivadas parciais e a aplicação da regra da cadeia para funções compostas. Para isso, vamos precisar entender como depende de e , e como e dependem de e .

Passo 2

Primeiro, vamos escrever as funções que estamos lidando:
Nosso objetivo é encontrar e .

Passo 3

Para encontrar e , vamos aplicar a regra da cadeia, que nos permite derivar funções compostas. A regra geral para uma função onde e dependem de outras variáveis ( e ) é:

Passo 4

Vamos começar calculando as derivadas parciais de e em relação a e :

Passo 5

Agora, vamos encontrar as derivadas parciais de em relação a e :
Primeiro, derivada de em relação a :
Em seguida, derivada de em relação a :

Passo 6

Agora que temos todas as derivadas necessárias, vamos aplicar a regra da cadeia para encontrar :
Simplificando:

Passo 7

Agora, vamos encontrar :

Passo 8

Finalmente, podemos expressar as derivadas parciais de em relação a e :

Resposta

As derivadas parciais usando a regra da cadeia são:

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Encontre o plano tangente e reta normal às superfícies nos respectivos pontos dados:
, em
Encontre o gradiente das funções abaixo:
Encontre na direção para os itens (f) e (g) do exercício anterior.
Considerando que: e , use a regra da cadeia para encontrar em :