Considerando que:
e
, use a regra da cadeia para encontrar
e
em:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! Aqui, a gente precisa encontrar as derivadas parciais de
em relação a
e
usando a regra da cadeia. A matéria envolvida é Cálculo Diferencial, mais especificamente derivadas parciais e a aplicação da regra da cadeia para funções compostas. Para isso, vamos precisar entender como
depende de
e
, e como
e
dependem de
e
.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever as funções que estamos lidando:
Nosso objetivo é encontrar
e
.
Passo 3
Para encontrar
e
, vamos aplicar a regra da cadeia, que nos permite derivar funções compostas. A regra geral para uma função
onde
e
dependem de outras variáveis (
e
) é:
Passo 4
Vamos começar calculando as derivadas parciais de
e
em relação a
e
:
Passo 5
Agora, vamos encontrar as derivadas parciais de
em relação a
e
:
Primeiro, derivada de
em relação a
:
Em seguida, derivada de
em relação a
:
Passo 6
Agora que temos todas as derivadas necessárias, vamos aplicar a regra da cadeia para encontrar
:
Simplificando:
Passo 7
Agora, vamos encontrar
:
Passo 8
Finalmente, podemos expressar as derivadas parciais de
em relação a
e
:
Resposta
As derivadas parciais usando a regra da cadeia são:
Exercícios relacionados
Encontre o plano tangente e reta normal às superfícies nos respectivos pontos dados:
, em
Encontre o gradiente das funções abaixo:
Encontre
na direção
para os itens (f) e (g) do exercício anterior.
Considerando que:
e
, use a regra da cadeia para encontrar
em :