Encontre o plano tangente e reta normal às superfícies nos respectivos pontos dados:
, em

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o plano tangente e a reta normal à superfície definida por no ponto . Para isso, vamos usar cálculo vetorial, especificamente o conceito de gradiente, que nos ajuda a encontrar o vetor normal à superfície.

Passo 2

Primeiro, vamos entender que o plano tangente a uma superfície em um ponto é aquele que toca a superfície exatamente nesse ponto e é “plano”. Para encontrá-lo, precisamos do vetor normal à superfície nesse ponto, que podemos obter calculando o gradiente da função que define a superfície.
A função que define a superfície é:
O gradiente de , denotado por , é dado pelas derivadas parciais em relação a , e .

Passo 3

Vamos calcular as derivadas parciais:
Portanto, o gradiente é:

Passo 4

Agora, vamos avaliar o gradiente no ponto :
Esse vetor é normal à superfície no ponto .

Passo 5

Com o vetor normal em mãos, podemos escrever a equação do plano tangente. A equação geral de um plano é:
Onde é o vetor normal, e é o ponto dado.
Substituindo os valores:
Podemos simplificar dividindo por 2:

Passo 6

Agora, vamos encontrar a reta normal à superfície no ponto . A reta normal passa pelo ponto e é direcionada pelo vetor normal . A equação paramétrica da reta é:
Substituindo os valores:

Resposta

O plano tangente à superfície no ponto é:
E a reta normal à superfície nesse ponto é dada pelas equações paramétricas:

Exercícios relacionados

Encontre o gradiente das funções abaixo:
Encontre o plano tangente e reta normal às superfícies nos respectivos pontos dados:
, em
Considerando que: e , use a regra da cadeia para encontrar e em:
Encontre na direção para os itens (f) e (g) do exercício anterior.