Encontre o plano tangente e reta normal às superfícies nos respectivos pontos dados:
x^2+2 y z+z^2=3, em P=(2,-1,1)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o plano tangente e a reta normal à superfície definida por no ponto . Para isso, vamos usar cálculo vetorial, especificamente o conceito de gradiente, que nos ajuda a encontrar o vetor normal à superfície.

Passo 2

Primeiro, vamos entender que o plano tangente a uma superfície em um ponto é aquele que toca a superfície exatamente nesse ponto e é “plano”. Para encontrá-lo, precisamos do vetor normal à superfície nesse ponto, que podemos obter calculando o gradiente da função que define a superfície.
A função que define a superfície é:
f(x, y, z) = x^2 + 2 y z + z^2 - 3
O gradiente de , denotado por , é dado pelas derivadas parciais em relação a , e .

Passo 3

Vamos calcular as derivadas parciais:
partial fpartial x = 2x
partial fpartial y = 2z
partial fpartial z = 2y + 2z
Portanto, o gradiente é:
nabla f = ( 2x, 2z, 2y + 2z )

Passo 4

Agora, vamos avaliar o gradiente no ponto nabla f(2, -1, 1) = ( 2 cdot 2, 2 cdot 1, 2 cdot (-1) + 2 cdot 1 ) :
nabla f(2, -1, 1) = ( 4, 2, -2 + 2 )
nabla f(2, -1, 1) = (4, 2, 0)
Esse vetor é normal à superfície no ponto .

Passo 5

Com o vetor normal em mãos, podemos escrever a equação do plano tangente. A equação geral de um plano é:
a(x - x0) + b(y - y0) + c(z - z0) = 0
Onde 4(x - 2) + 2(y + 1) + 0(z - 1) = 0 é o vetor normal, e 4x - 8 + 2y + 2 = 0 é o ponto dado.
Substituindo os valores:
4x + 2y - 6 = 0
2x + y - 3 = 0
Podemos simplificar dividindo por 2:

Passo 6

Agora, vamos encontrar a reta normal à superfície no ponto x = x0 + at . A reta normal passa pelo ponto y = y0 + bt e é direcionada pelo vetor normal z = z0 + ct . A equação paramétrica da reta é:
x = 2 + 4t
y = -1 + 2t
z = 1 + 0t
Substituindo os valores:
z = 1

Resposta

O plano tangente à superfície no ponto 2x + y - 3 = 0 é:
x = 2 + 4t
E a reta normal à superfície nesse ponto é dada pelas equações paramétricas:
y = -1 + 2t
z = 1

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