Encontre o plano tangente e reta normal às superfícies nos respectivos pontos dados:
, em
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o plano tangente e a reta normal à superfície definida por
no ponto
. Para isso, vamos usar cálculo vetorial, especificamente o conceito de gradiente, que nos ajuda a encontrar o vetor normal à superfície.
Passo 2
Primeiro, vamos entender que o plano tangente a uma superfície em um ponto é aquele que toca a superfície exatamente nesse ponto e é “plano”. Para encontrá-lo, precisamos do vetor normal à superfície nesse ponto, que podemos obter calculando o gradiente da função que define a superfície.
A função que define a superfície é:
O gradiente de
, denotado por
, é dado pelas derivadas parciais em relação a
,
e
.
Passo 3
Vamos calcular as derivadas parciais:
Portanto, o gradiente é:
Passo 4
Agora, vamos avaliar o gradiente no ponto
:
Esse vetor
é normal à superfície no ponto
.
Passo 5
Com o vetor normal em mãos, podemos escrever a equação do plano tangente. A equação geral de um plano é:
Onde
é o vetor normal, e
é o ponto dado.
Substituindo os valores:
Podemos simplificar dividindo por 2:
Passo 6
Agora, vamos encontrar a reta normal à superfície no ponto
. A reta normal passa pelo ponto
e é direcionada pelo vetor normal
. A equação paramétrica da reta é:
Substituindo os valores:
Resposta
O plano tangente à superfície no ponto
é:
E a reta normal à superfície nesse ponto é dada pelas equações paramétricas:
Exercícios relacionados
Encontre o gradiente das funções abaixo:
Encontre o plano tangente e reta normal às superfícies nos respectivos pontos dados:
, em
Considerando que:
e
, use a regra da cadeia para encontrar
e
em:
Encontre
na direção
para os itens (f) e (g) do exercício anterior.