Considerando que: x=x(t)=t^2+1 e y=y(t)=2 t, use a regra da cadeia para encontrar d fd t em :
f(x, y)=x^2 cdot e^x y

Passo 1

Vamos resolver um problema de derivadas usando a Regra da Cadeia. A gente tem funções que dependem de outra variável, e queremos descobrir a taxa de variação de uma função f(x, y) em relação a t. Precisamos saber como x e y mudam com t para aplicar a regra corretamente.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as funções que temos:
  • x(t) = t^2 + 1
  • y(t) = 2t
  • f(x, y) = x^2 cdot e^x y

Passo 3

A Regra da Cadeia para funções de várias variáveis nos diz que a derivada de f em relação a t é:
dfdt = partial fpartial x cdot dxdt + partial fpartial y cdot dydt
Isso significa que vamos derivar f em relação a x e y, e depois multiplicar pelas derivadas de x e y em relação a t.

Passo 4

Vamos encontrar partial fpartial x:
f(x, y) = x^2 cdot e^x y
Usando a regra do produto e a regra da cadeia:
partial fpartial x = 2x cdot e^x y + x^2 cdot e^x y cdot y = e^x y (2x + x^2 y)

Passo 5

Agora, vamos encontrar partial fpartial y:
f(x, y) = x^2 cdot e^x y
Aqui, x^2 é uma constante em relaç��o a y, então:
partial fpartial y = x^2 cdot e^x y cdot x = x^3 e^x y

Passo 6

Em seguida, calculamos as derivadas de x e y em relação a t:
dxdt = ddt(t^2 + 1) = 2t
dydt = ddt(2t) = 2

Passo 7

Agora, substituímos tudo na fórmula da Regra da Cadeia:
dfdt = e^x y (2x + x^2 y) cdot 2t + x^3 e^x y cdot 2

Passo 8

Vamos substituir x = t^2 + 1 e y = 2t na expressão:
dfdt = e^(t^2 + 1)(2t) [2(t^2 + 1) + (t^2 + 1)^2 cdot 2t] cdot 2t + (t^2 + 1)^3 e^(t^2 + 1)(2t) cdot 2

Passo 9

Podemos simplificar a expressão agrupando os termos:
dfdt = e^2t(t^2 + 1) [ (2(t^2 + 1) + 2t(t^2 + 1)^2) cdot 2t + 2(t^2 + 1)^3 ]

Resposta

A derivada de f em relação a t é:
dfdt = e^2t(t^2 + 1) [ 2t(2(t^2 + 1) + 2t(t^2 + 1)^2) + 2(t^2 + 1)^3 ]

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