Considerando que: e , use a regra da cadeia para encontrar em :

Passo 1

Vamos resolver um problema de derivadas usando a Regra da Cadeia. A gente tem funções que dependem de outra variável, e queremos descobrir a taxa de variação de uma função em relação a . Precisamos saber como e mudam com para aplicar a regra corretamente.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as funções que temos:

Passo 3

A Regra da Cadeia para funções de várias variáveis nos diz que a derivada de em relação a é:

Isso significa que vamos derivar em relação a e , e depois multiplicar pelas derivadas de e em relação a .

Passo 4

Vamos encontrar :

Usando a regra do produto e a regra da cadeia:

Passo 5

Agora, vamos encontrar :

Aqui, é uma constante em relaç��o a , então:

Passo 6

Em seguida, calculamos as derivadas de e em relação a :

Passo 7

Agora, substituímos tudo na fórmula da Regra da Cadeia:

Passo 8

Vamos substituir e na expressão:

Passo 9

Podemos simplificar a expressão agrupando os termos:

Resposta

A derivada de em relação a é:

Exercícios relacionados

Encontre na direção para os itens (f) e (g) do exercício anterior.
Considerando que: e , use a regra da cadeia para encontrar e em:
Encontre o plano tangente e reta normal às superfícies nos respectivos pontos dados:
, em
Considerando que: e , use a regra da cadeia para encontrar em :