Considerando que:
e
, use a regra da cadeia para encontrar
em :
Passo 1
Vamos resolver um problema de derivadas usando a Regra da Cadeia. A gente tem funções que dependem de outra variável, e queremos descobrir a taxa de variação de uma função
em relação a
. Precisamos saber como
e
mudam com
para aplicar a regra corretamente.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as funções que temos:
Passo 3
A Regra da Cadeia para funções de várias variáveis nos diz que a derivada de
em relação a
é:
Isso significa que vamos derivar
Passo 4
Vamos encontrar
:
Usando a regra do produto e a regra da cadeia:
Passo 5
Agora, vamos encontrar
:
Aqui,
Passo 6
Em seguida, calculamos as derivadas de
e
em relação a
:
Passo 7
Agora, substituímos tudo na fórmula da Regra da Cadeia:
Passo 8
Vamos substituir
e
na expressão:
Passo 9
Podemos simplificar a expressão agrupando os termos:
Resposta
A derivada de
em relação a
é:
Exercícios relacionados
Encontre
na direção
para os itens (f) e (g) do exercício anterior.
Considerando que:
e
, use a regra da cadeia para encontrar
e
em:
Encontre o plano tangente e reta normal às superfícies nos respectivos pontos dados:
, em
Considerando que:
e
, use a regra da cadeia para encontrar
em :