Encontre partial fpartial u(x, y, z) na direção u=(1,2,2) para os itens (f) e (g) do exercício anterior.
f(x, y, z)=x y z+(x+y+z)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a derivada direcional de uma função f(x, y, z) = x y z + (x + y + z) na direção do vetor u = (1, 2, 2). Para isso, vamos usar conceitos de cálculo multivariável, especificamente sobre derivadas direcionais e gradientes.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a derivada direcional. Ela nos diz a taxa de variação da função f em uma direção específica, no caso, na direção do vetor u. Para calcular isso, precisamos do gradiente da função f. O gradiente é um vetor que contém todas as derivadas parciais de f em relação a x, y e z.
Então, vamos calcular as derivadas parciais:
partial fpartial x = y z + 1
partial fpartial y = x z + 1
partial fpartial z = x y + 1
Portanto, o gradiente de f é:
nabla f = ( y z + 1,; x z + 1,; x y + 1 )

Passo 3

Agora, precisamos considerar a direção do vetor u = (1, 2, 2). Para calcular a derivada direcional, o vetor direção deve ser um vetor unitário, ou seja, com comprimento igual a 1. Vamos normalizar u.
Primeiro, calculamos o comprimento de u:
|u| = raiz1^2 + 2^2 + 2^2 = raiz1 + 4 + 4 = raiz9 = 3
Agora, o vetor unitário na direção de u é:
u = ( 13,; 23,; 23 )

Passo 4

A derivada direcional de f na direção de u é o produto escalar do gradiente de f com o vetor unitário u. Ou seja:
Du f = nabla f cdot u = ( y z + 1 ) cdot 13 + ( x z + 1 ) cdot 23 + ( x y + 1 ) cdot 23
Vamos simplificar isso:
Du f = y z + 13 + 2(x z + 1)3 + 2(x y + 1)3
Du f = y z + 1 + 2x z + 2 + 2x y + 23
Du f = 2x y + 2x z + y z + 53

Resposta

A derivada direcional de f(x, y, z) = x y z + (x + y + z) na direção u = (1, 2, 2) é:
Du f = 2x y + 2x z + y z + 53

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