Encontre
na direção
para os itens (f) e (g) do exercício anterior.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a derivada direcional de uma função
na direção do vetor
. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo multivariável, especificamente sobre derivadas direcionais e gradientes.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é a derivada direcional. Ela nos diz a taxa de variação da função
em uma direção específica, no caso, na direção do vetor
. Para calcular isso, precisamos do gradiente da função
. O gradiente é um vetor que contém todas as derivadas parciais de
em relação a
,
e
.
Então, vamos calcular as derivadas parciais:
Portanto, o gradiente de
é:
Passo 3
Agora, precisamos considerar a direção do vetor
. Para calcular a derivada direcional, o vetor direção deve ser um vetor unitário, ou seja, com comprimento igual a 1. Vamos normalizar
.
Primeiro, calculamos o comprimento de
:
Agora, o vetor unitário na direção de
é:
Passo 4
A derivada direcional de
na direção de
é o produto escalar do gradiente de
com o vetor unitário
. Ou seja:
Vamos simplificar isso:
Resposta
A derivada direcional de
na direção
é:
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