Encontre na direção para os itens (f) e (g) do exercício anterior.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a derivada direcional de uma função na direção do vetor . Para isso, vamos usar conceitos de cálculo multivariável, especificamente sobre derivadas direcionais e gradientes.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a derivada direcional. Ela nos diz a taxa de variação da função em uma direção específica, no caso, na direção do vetor . Para calcular isso, precisamos do gradiente da função . O gradiente é um vetor que contém todas as derivadas parciais de em relação a , e .
Então, vamos calcular as derivadas parciais:
Portanto, o gradiente de é:

Passo 3

Agora, precisamos considerar a direção do vetor . Para calcular a derivada direcional, o vetor direção deve ser um vetor unitário, ou seja, com comprimento igual a 1. Vamos normalizar .
Primeiro, calculamos o comprimento de :
Agora, o vetor unitário na direção de é:

Passo 4

A derivada direcional de na direção de é o produto escalar do gradiente de com o vetor unitário . Ou seja:
Vamos simplificar isso:

Resposta

A derivada direcional de na direção é:

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