Encontre o gradiente das funções abaixo:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar o gradiente da função
. Isso envolve conceitos de cálculo multivariável, especificamente derivadas parciais. Para resolver, vamos precisar entender o que é o gradiente e como calcular derivadas parciais de funções com várias variáveis.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é o gradiente. O gradiente de uma função de múltiplas variáveis é um vetor que contém todas as derivadas parciais da função em relação às suas variáveis. No nosso caso, como a função tem três variáveis (
,
,
), o gradiente será um vetor com três componentes:
,
e
.
Passo 3
Vamos começar calculando a derivada parcial de
em relação a
, ou seja,
. Para isso, tratamos
e
como constantes e derivamos em relação a
:
Passo 4
Calculando cada termo separadamente:
- Para
, tratamos e como constantes:
- Para
, a derivada de em relação a é 1, e as derivadas de e em relação a são 0:
Então, juntando os resultados:
Passo 5
Agora, vamos calcular a derivada parcial de
em relação a
,
. Usamos o mesmo procedimento, tratando
e
como constantes:
Passo 6
Calculando cada termo:
- Para
:
- Para
:
Então:
Passo 7
Por fim, vamos calcular a derivada parcial de
em relação a
,
:
Passo 8
Calculando cada termo:
- Para
:
- Para
:
Então:
Resposta
O gradiente da função
é dado por:
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, em
Encontre
na direção
para os itens (f) e (g) do exercício anterior.
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, em
Considerando que:
e
, use a regra da cadeia para encontrar
e
em: