Encontre o gradiente das funções abaixo:
f(x, y, z)=x y z+(x+y+z)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar o gradiente da função . Isso envolve conceitos de cálculo multivariável, especificamente derivadas parciais. Para resolver, vamos precisar entender o que é o gradiente e como calcular derivadas parciais de funções com várias variáveis.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é o gradiente. O gradiente de uma função de múltiplas variáveis é um vetor que contém todas as derivadas parciais da função em relação às suas variáveis. No nosso caso, como a função tem três variáveis ( , , ), o gradiente será um vetor com três componentes: , e .

Passo 3

Vamos começar calculando a derivada parcial de partial fpartial x = partialpartial x (xyz) + partialpartial x (x + y + z) em relação a , ou seja, . Para isso, tratamos e como constantes e derivamos em relação a :

Passo 4

Calculando cada termo separadamente:
  1. Para partialpartial x (xyz) = y z , tratamos partialpartial x (x + y + z) = 1 e partial fpartial x = y z + 1 como constantes:
  1. Para , a derivada de em relação a é 1, e as derivadas de e em relação a são 0:
Então, juntando os resultados:

Passo 5

Agora, vamos calcular a derivada parcial de partial fpartial y = partialpartial y (xyz) + partialpartial y (x + y + z) em relação a , . Usamos o mesmo procedimento, tratando e como constantes:

Passo 6

Calculando cada termo:
  1. Para partialpartial y (xyz) = x z :
partialpartial y (x + y + z) = 1
  1. Para partial fpartial y = x z + 1 :
Então:

Passo 7

Por fim, vamos calcular a derivada parcial de partial fpartial z = partialpartial z (xyz) + partialpartial z (x + y + z) em relação a , :

Passo 8

Calculando cada termo:
  1. Para partialpartial z (xyz) = x y :
partialpartial z (x + y + z) = 1
  1. Para partial fpartial z = x y + 1 :
Então:

Resposta

O gradiente da função nabla f(x, y, z) = ( y z + 1, , x z + 1, , x y + 1 ) é dado por:

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