Considerando que:
e
, use a regra da cadeia para encontrar
e
em:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma função
onde
e
são funções de
e
. O objetivo é encontrar as derivadas parciais de
em relação a
e
usando a regra da cadeia. Para isso, vamos precisar entender como derivar funções compostas e aplicar a regra da cadeia corretamente.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar como
depende de
e
, e como
e
dependem de
e
. Isso é essencial para aplicar a regra da cadeia, que nos ajuda a encontrar derivadas de funções compostas.
Passo 3
Vamos relembrar a regra da cadeia para funções de múltiplas variáveis. Se
depende de
e
, que por sua vez dependem de
e
, então:
Isso significa que precisamos calcular as derivadas de
em relação a
e
, e as derivadas de
e
em relação a
e
.
Passo 4
Vamos calcular
e
:
Então,
Passo 5
Agora, vamos encontrar as derivadas de
e
em relação a
e
:
Passo 6
Agora, aplicamos a regra da cadeia para
:
Simplificando:
Passo 7
Agora, aplicamos a regra da cadeia para
:
Distribuindo:
Resposta
As derivadas parciais são:
Exercícios relacionados
Encontre o plano tangente e reta normal às superfícies nos respectivos pontos dados:
, em
Encontre
na direção
para os itens de (a) até (e) do exercício anterior.
Encontre o gradiente das funções abaixo:
Encontre
na direção
para os itens de (a) até (e) do exercício anterior.