Considerando que: e , use a regra da cadeia para encontrar e em:

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma função onde e são funções de e . O objetivo é encontrar as derivadas parciais de em relação a e usando a regra da cadeia. Para isso, vamos precisar entender como derivar funções compostas e aplicar a regra da cadeia corretamente.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar como depende de e , e como e dependem de e . Isso é essencial para aplicar a regra da cadeia, que nos ajuda a encontrar derivadas de funções compostas.

Passo 3

Vamos relembrar a regra da cadeia para funções de múltiplas variáveis. Se depende de e , que por sua vez dependem de e , então:
Isso significa que precisamos calcular as derivadas de em relação a e , e as derivadas de e em relação a e .

Passo 4

Vamos calcular e :
Então,

Passo 5

Agora, vamos encontrar as derivadas de e em relação a e :

Passo 6

Agora, aplicamos a regra da cadeia para :
Simplificando:

Passo 7

Agora, aplicamos a regra da cadeia para :
Distribuindo:

Resposta

As derivadas parciais são:

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Encontre o plano tangente e reta normal às superfícies nos respectivos pontos dados:
, em
Encontre na direção para os itens de (a) até (e) do exercício anterior.
Encontre o gradiente das funções abaixo:
Encontre na direção para os itens de (a) até (e) do exercício anterior.