Considerando que: x=x(s, t)=s+t^2 e y=y(s, t)=2 t-s, use a regra da cadeia para encontrar partial fpartial s e fpartial t em:
f(x, y)=(x+y)^5-e^x^2

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma função onde e são funções de e . O objetivo é encontrar as derivadas parciais de em relação a e usando a regra da cadeia. Para isso, vamos precisar entender como derivar funções compostas e aplicar a regra da cadeia corretamente.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar como depende de e , e como e dependem de e . Isso é essencial para aplicar a regra da cadeia, que nos ajuda a encontrar derivadas de funções compostas.

Passo 3

Vamos relembrar a regra da cadeia para funções de múltiplas variáveis. Se partial fpartial s = partial fpartial x cdot partial xpartial s + partial fpartial y cdot partial ypartial s depende de partial fpartial t = partial fpartial x cdot partial xpartial t + partial fpartial y cdot partial ypartial t e , que por sua vez dependem de e , então:
Isso significa que precisamos calcular as derivadas de em relação a e , e as derivadas de e em relação a e .

Passo 4

Vamos calcular f(x, y) = (x + y)^5 - e^x^2 e partial fpartial x = 5(x + y)^4 cdot 1 - e^x^2 cdot 2x = 5(x + y)^4 - 2x e^x^2 :
partial fpartial y = 5(x + y)^4 cdot 1 = 5(x + y)^4
Então,

Passo 5

Agora, vamos encontrar as derivadas de x = s + t^2 Rightarrow partial xpartial s = 1, partial xpartial t = 2t e y = 2t - s Rightarrow partial ypartial s = -1, partial ypartial t = 2 em relação a e :

Passo 6

Agora, aplicamos a regra da cadeia para partial fpartial s = partial fpartial x cdot partial xpartial s + partial fpartial y cdot partial ypartial s = (5(x + y)^4 - 2x e^x^2) cdot 1 + 5(x + y)^4 cdot (-1) :
partial fpartial s = 5(x + y)^4 - 2x e^x^2 - 5(x + y)^4 = -2x e^x^2
Simplificando:

Passo 7

Agora, aplicamos a regra da cadeia para partial fpartial t = partial fpartial x cdot partial xpartial t + partial fpartial y cdot partial ypartial t = (5(x + y)^4 - 2x e^x^2) cdot 2t + 5(x + y)^4 cdot 2 :
partial fpartial t = 10t(x + y)^4 - 4x t e^x^2 + 10(x + y)^4 = 20t(x + y)^4 - 4x t e^x^2
Distribuindo:

Resposta

As derivadas parciais são:
partial fpartial s = -2x e^x^2
partial fpartial t = 20t(x + y)^4 - 4x t e^x^2

Exercícios relacionados