Encontre na direção para os itens de (a) até (e) do exercício anterior.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente encontrar a derivada direcional de uma função na direção do vetor . Isso está relacionado ao conteúdo de cálculo multivariável, especificamente derivadas parciais e derivadas direcionais. Para resolver isso, vamos precisar calcular as derivadas parciais de em relação a e , e então usar essas derivadas para encontrar a derivada direcional na direção de .

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é a derivada direcional. Imagine que você está em um ponto específico da superfície definida por e quer saber como a função está mudando se você se move em uma determinada direção. A derivada direcional nos dá exatamente essa informação: a taxa de variação da função na direção do vetor .

Passo 3

Para calcular a derivada direcional, precisamos das derivadas parciais de em relação a e .
Vamos começar com a derivada parcial em relação a :
Agora, a derivada parcial em relação a :

Passo 4

Com as derivadas parciais em mãos, podemos usar a fórmula da derivada direcional:
Onde .

Passo 5

Agora, substituímos as derivadas parciais e os componentes de na fórmula:
Simplificando, temos:

Resposta

A derivada direcional de na direção de é:

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Encontre o gradiente das funções abaixo:
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Encontre o plano tangente e reta normal às superfícies nos respectivos pontos dados:
, em
Considerando que: e , use a regra da cadeia para encontrar e em: