Encontre partial fpartial u(x, y) na direção u=(45, 35) para os itens de (a) até (e) do exercício anterior.
f(x, y)=x^3+cos x y-ln y

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente encontrar a derivada direcional de uma função na direção do vetor . Isso está relacionado ao conteúdo de cálculo multivariável, especificamente derivadas parciais e derivadas direcionais. Para resolver isso, vamos precisar calcular as derivadas parciais de em relação a e , e então usar essas derivadas para encontrar a derivada direcional na direção de .

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é a derivada direcional. Imagine que você está em um ponto específico da superfície definida por e quer saber como a função está mudando se você se move em uma determinada direção. A derivada direcional nos dá exatamente essa informação: a taxa de variação da função na direção do vetor .

Passo 3

Para calcular a derivada direcional, precisamos das derivadas parciais de partial fpartial x = partialpartial x ( x^3 + cos(x y) - ln y ) = 3x^2 - y sin(x y) em relação a partial fpartial y = partialpartial y ( x^3 + cos(x y) - ln y ) = -x sin(x y) - 1y e .
Vamos começar com a derivada parcial em relação a :
Agora, a derivada parcial em relação a :

Passo 4

Com as derivadas parciais em mãos, podemos usar a fórmula da derivada direcional:
partial fpartial u = partial fpartial x cdot u1 + partial fpartial y cdot u2
Onde .

Passo 5

Agora, substituímos as derivadas parciais e os componentes de partial fpartial u = (3x^2 - y sin(x y)) cdot 45 + (-x sin(x y) - 1y) cdot 35 na fórmula:
partial fpartial u = 12x^25 - 4y sin(x y)5 - 3x sin(x y)5 - 35y
Simplificando, temos:

Resposta

A derivada direcional de partial fpartial u = 12x^25 - 4y sin(x y)5 - 3x sin(x y)5 - 35y na direção de é:

Exercícios relacionados