Encontre
na direção
para os itens de (a) até (e) do exercício anterior.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente encontrar a derivada direcional de uma função
na direção do vetor
. Isso está relacionado ao conteúdo de cálculo multivariável, especificamente derivadas parciais e derivadas direcionais. Para resolver isso, vamos precisar calcular as derivadas parciais de
em relação a
e
, e então usar essas derivadas para encontrar a derivada direcional na direção de
.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é a derivada direcional. Imagine que você está em um ponto específico da superfície definida por
e quer saber como a função está mudando se você se move em uma determinada direção. A derivada direcional nos dá exatamente essa informação: a taxa de variação da função na direção do vetor
.
Passo 3
Para calcular a derivada direcional, precisamos das derivadas parciais de
em relação a
e
.
Vamos começar com a derivada parcial em relação a
:
Agora, a derivada parcial em relação a
:
Passo 4
Com as derivadas parciais em mãos, podemos usar a fórmula da derivada direcional:
Onde
.
Passo 5
Agora, substituímos as derivadas parciais e os componentes de
na fórmula:
Simplificando, temos:
Resposta
A derivada direcional de
na direção de
é:
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, em
Considerando que:
e
, use a regra da cadeia para encontrar
e
em: