Encontre
na direção
para os itens de (a) até (e) do exercício anterior.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar a derivada direcional de
na direção do vetor
. Isso está relacionado ao estudo de derivadas parciais e derivadas direcionais em cálculo multivariável. Para resolver isso, vamos precisar calcular o gradiente da função
e fazer um produto escalar com o vetor direção
.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é o gradiente. O gradiente de uma função
é um vetor que contém todas as derivadas parciais de
em relação a
e
. Ou seja,
Então, vamos calcular essas derivadas parciais.
Passo 3
Vamos calcular a derivada parcial de
em relação a
:
Para isso, usamos a regra do produto:
Agora, vamos calcular a derivada parcial de
em relação a
:
Aqui, apenas
depende de
, então:
Passo 4
Com as derivadas parciais calculadas, o gradiente de
fica:
Passo 5
Agora, vamos lembrar que a derivada direcional de
na direção do vetor
é dada pelo produto escalar do gradiente de
com o vetor
:
Simplificando, temos:
Resposta
A derivada direcional de
na direção
é: