Encontre partial fpartial u(x, y) na direção u=(45, 35) para os itens de (a) até (e) do exercício anterior.
f(x, y)=x^2 cdot e^x y

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar a derivada direcional de na direção do vetor . Isso está relacionado ao estudo de derivadas parciais e derivadas direcionais em cálculo multivariável. Para resolver isso, vamos precisar calcular o gradiente da função e fazer um produto escalar com o vetor direção .

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é o gradiente. O gradiente de uma função nabla f = ( partial fpartial x, partial fpartial y ) é um vetor que contém todas as derivadas parciais de em relação a e . Ou seja,
Então, vamos calcular essas derivadas parciais.

Passo 3

Vamos calcular a derivada parcial de partial fpartial x = partialpartial x ( x^2 e^x y ) em relação a partial fpartial x = 2x e^x y + x^2 e^x y cdot y = e^x y (2x + x^2 y) :
partial fpartial y = partialpartial y ( x^2 e^x y )
Para isso, usamos a regra do produto:
partial fpartial y = x^2 e^x y cdot x = x^3 e^x y
Agora, vamos calcular a derivada parcial de em relação a :
Aqui, apenas depende de , então:

Passo 4

Com as derivadas parciais calculadas, o gradiente de abla f = ( e^x y (2x + x^2 y), , x^3 e^x y ) fica:

Passo 5

Agora, vamos lembrar que a derivada direcional de Du f = nabla f cdot u = ( e^x y (2x + x^2 y) ) cdot 45 + ( x^3 e^x y ) cdot 35 na direção do vetor Du f = 45 e^x y (2x + x^2 y) + 35 x^3 e^x y é dada pelo produto escalar do gradiente de com o vetor :
Simplificando, temos:

Resposta

A derivada direcional de Du f = e^x y ( 45 (2x + x^2 y) + 35 x^3 ) na direção é:

Exercícios relacionados