Encontre o plano tangente e reta normal às superfícies nos respectivos pontos dados: , em
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o plano tangente e a reta normal à superfície definida por no ponto . Isso está relacionado ao estudo de superfícies e derivadas parciais, que nos ajudam a entender como a superfície se comporta próximo a um ponto específico.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é um plano tangente. Imagine que a superfície é como uma montanha, e o plano tangente é o plano que “toca” a montanha exatamente naquele ponto, sem cortar a superfície ali. Para encontrar esse plano, precisamos das derivadas parciais de em relação a e .
Passo 3
Vamos calcular o valor de no ponto :
Então, o ponto na superfície é .
Passo 4
Agora, vamos encontrar as derivadas parciais de :
Derivada parcial em relação a :
Derivada parcial em relação a :
Passo 5
Vamos avaliar essas derivadas no ponto :
Passo 6
Com as derivadas calculadas, podemos montar a equação do plano tangente usando a fórmula:
Substituindo os valores:
Vamos simplificar:
Então, o plano tangente é .
Passo 7
Agora, vamos encontrar a reta normal à superfície no ponto . A reta normal segue a direção do vetor normal ao plano tangente. Esse vetor é dado pelos coeficientes de , e na equação do plano tangente, que são , e respectivamente (lembre que o coeficiente de é porque movemos o para o outro lado da equação).
Então, o vetor normal é .
A equação paramétrica da reta normal passa por e segue a direção de :
Resposta
O plano tangente à superfície no ponto é dado por:
A reta normal à superfície no mesmo ponto é definida pelas equações paramétricas: