Encontre o plano tangente e reta normal às superfícies nos respectivos pontos dados:
f(x, y)=x^2+2 x y, em P=(1,1)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o plano tangente e a reta normal à superfície definida por no ponto . Isso está relacionado ao estudo de superfícies e derivadas parciais, que nos ajudam a entender como a superfície se comporta próximo a um ponto específico.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é um plano tangente. Imagine que a superfície é como uma montanha, e o plano tangente é o plano que “toca” a montanha exatamente naquele ponto, sem cortar a superfície ali. Para encontrar esse plano, precisamos das derivadas parciais de em relação a e .

Passo 3

Vamos calcular o valor de f(1, 1) = (1)^2 + 2 times 1 times 1 = 1 + 2 = 3 no ponto :
Então, o ponto na superfície é .

Passo 4

Agora, vamos encontrar as derivadas parciais de fx(x, y) = partial fpartial x = 2x + 2y :
  • Derivada parcial em relação a fy(x, y) = partial fpartial y = 2x :
  • Derivada parcial em relação a :

Passo 5

Vamos avaliar essas derivadas no ponto fx(1, 1) = 2 times 1 + 2 times 1 = 2 + 2 = 4 :
fy(1, 1) = 2 times 1 = 2

Passo 6

Com as derivadas calculadas, podemos montar a equação do plano tangente usando a fórmula:
z = f(x0, y0) + fx(x0, y0)(x - x0) + fy(x0, y0)(y - y0)
Substituindo os valores:
z = 3 + 4(x - 1) + 2(y - 1)
Vamos simplificar:
z = 3 + 4x - 4 + 2y - 2
z = 4x + 2y - 3
Então, o plano tangente é .

Passo 7

Agora, vamos encontrar a reta normal à superfície no ponto x = 1 + 4t y = 1 + 2t z = 3 - t . A reta normal segue a direção do vetor normal ao plano tangente. Esse vetor é dado pelos coeficientes de , e na equação do plano tangente, que são , e respectivamente (lembre que o coeficiente de é porque movemos o para o outro lado da equação).
Então, o vetor normal é .
A equação paramétrica da reta normal passa por e segue a direção de :

Resposta

O plano tangente à superfície no ponto z = 4x + 2y - 3 é dado por:
x = 1 + 4t y = 1 + 2t z = 3 - t
A reta normal à superfície no mesmo ponto é definida pelas equações paramétricas:

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