Encontre o gradiente das funções abaixo:

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o gradiente da função . O gradiente é basicamente um vetor que aponta na direção de maior crescimento da função, e para isso, a gente vai precisar calcular as derivadas parciais de em relação a e . Vamos por partes!

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a derivada parcial de em relação a , que a gente escreve como . Isso significa que a gente vai derivar a função em relação a , tratando como uma constante.
Começando com a função:
Derivando cada termo em relação a :
  • A derivada de em relação a é (porque é constante).
  • A derivada de em relação a é (usando a regra da cadeia).
Então, juntando tudo:

Passo 3

Agora, vamos calcular a derivada parcial de em relação a , que é . Aqui, a gente deriva em relação a , tratando como constante.
Derivando cada termo:
  • A derivada de em relação a é .
  • A derivada de em relação a é (novamente, usando a regra da cadeia).
Então, a derivada parcial fica:

Resposta

O gradiente da função é dado por:

Exercícios relacionados

Considerando que: e , use a regra da cadeia para encontrar e em:
Encontre o plano tangente e reta normal às superfícies nos respectivos pontos dados:
, em
Encontre na direção para os itens de (a) até (e) do exercício anterior.
Encontre na direção para os itens (f) e (g) do exercício anterior.