Encontre o gradiente das funções abaixo:
f(x, y)=x^2 y-ln (x^2+y^2)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o gradiente da função . O gradiente é basicamente um vetor que aponta na direção de maior crescimento da função, e para isso, a gente vai precisar calcular as derivadas parciais de em relação a e . Vamos por partes!

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a derivada parcial de f(x, y) = x^2 y - ln (x^2+y^2) em relação a partial fpartial x = 2x y - 2xx^2+y^2 , que a gente escreve como . Isso significa que a gente vai derivar a função em relação a , tratando como uma constante.
Começando com a função:
Derivando cada termo em relação a :
  • A derivada de em relação a é (porque é constante).
  • A derivada de em relação a é (usando a regra da cadeia).
Então, juntando tudo:

Passo 3

Agora, vamos calcular a derivada parcial de partial fpartial y = x^2 - 2yx^2+y^2 em relação a , que é . Aqui, a gente deriva em relação a , tratando como constante.
Derivando cada termo:
  • A derivada de em relação a é .
  • A derivada de em relação a é (novamente, usando a regra da cadeia).
Então, a derivada parcial fica:

Resposta

O gradiente da função nabla f(x, y) = ( 2x y - 2xx^2+y^2,; x^2 - 2yx^2+y^2 ) é dado por:

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