Encontre o gradiente das funções abaixo:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o gradiente da função
. O gradiente é basicamente um vetor que aponta na direção de maior crescimento da função, e para isso, a gente vai precisar calcular as derivadas parciais de
em relação a
e
. Vamos por partes!
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a derivada parcial de
em relação a
, que a gente escreve como
. Isso significa que a gente vai derivar a função em relação a
, tratando
como uma constante.
Começando com a função:
Derivando cada termo em relação a
:
- A derivada de
em relação a é (porque é constante). - A derivada de
em relação a é (usando a regra da cadeia).
Então, juntando tudo:
Passo 3
Agora, vamos calcular a derivada parcial de
em relação a
, que é
. Aqui, a gente deriva em relação a
, tratando
como constante.
Derivando cada termo:
- A derivada de
em relação a é . - A derivada de
em relação a é (novamente, usando a regra da cadeia).
Então, a derivada parcial fica:
Resposta
O gradiente da função
é dado por:
Exercícios relacionados
Considerando que:
e
, use a regra da cadeia para encontrar
e
em:
Encontre o plano tangente e reta normal às superfícies nos respectivos pontos dados:
, em
Encontre
na direção
para os itens de (a) até (e) do exercício anterior.
Encontre
na direção
para os itens (f) e (g) do exercício anterior.