Encontre o plano tangente e reta normal às superfícies nos respectivos pontos dados:
, em
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o plano tangente e a reta normal à superfície definida pela função
no ponto
. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo multivariável, especificamente derivadas parciais, que nos ajudam a determinar como a função muda em relação a cada variável. Vamos precisar calcular as derivadas parciais de
em relação a
e
, e usar essas informações para encontrar as equações desejadas.
Passo 2
Primeiro, vamos achar as derivadas parciais de
em relação a
e
. As derivadas parciais nos mostram a inclinação da superfície nas direções de
e
.
A derivada parcial de
em relação a
é:
A derivada parcial de
em relação a
é:
Passo 3
Agora, vamos avaliar essas derivadas no ponto
.
Calculando
:
Calculando
:
Passo 4
Com as derivadas parciais no ponto
, podemos montar a equação do plano tangente. A fórmula geral do plano tangente a uma superfície
no ponto
é:
Primeiro, vamos calcular
:
Agora, substituindo na fórmula:
Simplificando:
Então, a equação do plano tangente é
.
Passo 5
Para encontrar a reta normal à superfície no ponto
, usamos o gradiente da função
no ponto, que é dado pelo vetor
. Esse vetor é perpendicular ao plano tangente, ou seja, é a direção da reta normal.
No ponto
, o gradiente é:
Agora, usamos o ponto
e o vetor direção para escrever as equações paramétricas da reta normal:
Resposta
O plano tangente à superfície no ponto
é
e a reta normal é dada pelas equações paramétricas:
Exercícios relacionados
Considerando que:
e
, use a regra da cadeia para encontrar
em :
Encontre
na direção
para os itens (f) e (g) do exercício anterior.
Considerando que:
e
, use a regra da cadeia para encontrar
em :
A soma de dois números é 20. Se cada número for adicionado à própria raiz quadrada, o produto das duas somas será 155,55 . Determine os dois números com precisão de
.