Encontre o plano tangente e reta normal às superfícies nos respectivos pontos dados:
, em

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o plano tangente e a reta normal à superfície definida pela função no ponto . Para isso, vamos usar conceitos de cálculo multivariável, especificamente derivadas parciais, que nos ajudam a determinar como a função muda em relação a cada variável. Vamos precisar calcular as derivadas parciais de em relação a e , e usar essas informações para encontrar as equações desejadas.

Passo 2

Primeiro, vamos achar as derivadas parciais de em relação a e . As derivadas parciais nos mostram a inclinação da superfície nas direções de e .
A derivada parcial de em relação a é:
A derivada parcial de em relação a é:

Passo 3

Agora, vamos avaliar essas derivadas no ponto .
Calculando :
Calculando :

Passo 4

Com as derivadas parciais no ponto , podemos montar a equação do plano tangente. A fórmula geral do plano tangente a uma superfície no ponto é:
Primeiro, vamos calcular :
Agora, substituindo na fórmula:
Simplificando:
Então, a equação do plano tangente é .

Passo 5

Para encontrar a reta normal à superfície no ponto , usamos o gradiente da função no ponto, que é dado pelo vetor . Esse vetor é perpendicular ao plano tangente, ou seja, é a direção da reta normal.
No ponto , o gradiente é:
Agora, usamos o ponto e o vetor direção para escrever as equações paramétricas da reta normal:

Resposta

O plano tangente à superfície no ponto é e a reta normal é dada pelas equações paramétricas:

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