Encontre o plano tangente e reta normal às superfícies nos respectivos pontos dados:
f(x, y)=x^2+x cos y+1, em P=(1,0)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o plano tangente e a reta normal à superfície definida pela função no ponto . Para isso, vamos usar conceitos de cálculo multivariável, especificamente derivadas parciais, que nos ajudam a determinar como a função muda em relação a cada variável. Vamos precisar calcular as derivadas parciais de em relação a e , e usar essas informações para encontrar as equações desejadas.

Passo 2

Primeiro, vamos achar as derivadas parciais de fx(x, y) = partialpartial x ( x^2 + x cos y + 1 ) = 2x + cos y em relação a fy(x, y) = partialpartial y ( x^2 + x cos y + 1 ) = -x sin y e . As derivadas parciais nos mostram a inclinação da superfície nas direções de e .
A derivada parcial de em relação a é:
A derivada parcial de em relação a é:

Passo 3

Agora, vamos avaliar essas derivadas no ponto fx(1, 0) = 2(1) + cos(0) = 2 + 1 = 3 .
Calculando fy(1, 0) = -1 cdot sin(0) = -1 cdot 0 = 0 :
Calculando :

Passo 4

Com as derivadas parciais no ponto z = f(x0, y0) + fx(x0, y0)(x - x0) + fy(x0, y0)(y - y0) , podemos montar a equação do plano tangente. A fórmula geral do plano tangente a uma superfície f(1, 0) = 1^2 + 1 cdot cos(0) + 1 = 1 + 1 + 1 = 3 no ponto z = 3 + 3(x - 1) + 0(y - 0) é:
z = 3 + 3x - 3
Primeiro, vamos calcular z = 3x :
Agora, substituindo na fórmula:
Simplificando:
Então, a equação do plano tangente é .

Passo 5

Para encontrar a reta normal à superfície no ponto nabla f = (3, 0, -1) , usamos o gradiente da função x = 1 + 3t no ponto, que é dado pelo vetor y = 0 + 0t = 0 . Esse vetor é perpendicular ao plano tangente, ou seja, é a direção da reta normal.
No ponto z = f(1, 0) + (-1)t = 3 - t , o gradiente é:
Agora, usamos o ponto e o vetor direção para escrever as equações paramétricas da reta normal:

Resposta

O plano tangente à superfície no ponto x = 1 + 3t, y = 0, z = 3 - t é e a reta normal é dada pelas equações paramétricas:

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