Considere o algoritmo iterativo
xk+1=alpha yk+a, yk+1=beta xk+b
Qual deve ser a relação entre os parâmetros (alpha, beta, a, b) para garantir a convergência da seqüência?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício que você trouxe fala sobre um algoritmo iterativo, que é basicamente um método para calcular valores repetidamente até chegar a uma resposta desejada. A equação dada é:
xk+1 = alpha yk + a, yk+1 = beta xk + b
Nosso objetivo aqui é descobrir quais relações entre os parâmetros garantem que a sequência converge, ou seja, chega perto de um valor fixo quando aumenta.
Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre sistemas lineares iterativos e como analisar a convergência usando matrizes e valores próprios (também conhecidos como autovalores).

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever o sistema de equações de uma forma que fique mais fácil de analisar. Podemos representar o sistema usando uma matriz. As equações são:
xk+1 = alpha yk + a
yk+1 = beta xk + b
Podemos escrever isso em forma de matriz assim:

$$
xk+1 yk+1 = 0 & alpha beta & 0 xk yk + a b

A = 0 & alpha beta & 0
C = a b
+
$$
Aqui, a matriz dos coeficientes é:
E o vetor constante é:

Passo 3

Para que a sequência A cdot v = lambda v converja, a matriz det(A - lambda I) = 0 precisa ter propriedades específicas. Mais especificamente, precisamos que os valores próprios da matriz det( -lambda & alpha beta & -lambda ) = lambda^2 - alphabeta = 0 tenham módulo menor que 1. Mas o que são valores próprios?
Valores próprios são números que, quando multiplicados por um vetor (não nulo), não mudam a direção desse vetor, apenas sua magnitude. Matematicamente, se lambda^2 = alphabeta lambda = pm raizalphabeta é um valor próprio de , então:
Para nossa matriz , vamos encontrar seus valores próprios resolvendo a equação característica:
Onde é a matriz identidade. Calculando isso:
Resolvendo para :

Passo 4

Agora que temos os valores próprios |lambda| = |raizalphabeta| < 1 , para garantir que a sequência converge, precisamos que o módulo (ou valor absoluto) desses valores próprios seja menor que 1. Ou seja:
raizalphabeta < 1
Como alphabeta < 1 é um número real (assumindo que ), podemos simplificar para:
Elevando ambos os lados ao quadrado para eliminar a raiz:

Passo 5

Além disso, precisamos garantir que a sequência não apenas oscile, mas realmente se estabilize. Para isso, também consideramos os termos constantes alpha beta < 1 e . No entanto, a principal condição para a convergência da sequência depende principalmente dos parâmetros e .
Portanto, a relação necessária entre os parâmetros para garantir a convergência é:

Resposta

Para garantir a convergência da sequência, os parâmetros devem satisfazer a relação .

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