Considere o algoritmo iterativo
Qual deve ser a relação entre os parâmetros
para garantir a convergência da seqüência?
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício que você trouxe fala sobre um algoritmo iterativo, que é basicamente um método para calcular valores repetidamente até chegar a uma resposta desejada. A equação dada é:
Nosso objetivo aqui é descobrir quais relações entre os parâmetros
garantem que a sequência
converge, ou seja, chega perto de um valor fixo quando
aumenta.
Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre sistemas lineares iterativos e como analisar a convergência usando matrizes e valores próprios (também conhecidos como autovalores).
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever o sistema de equações de uma forma que fique mais fácil de analisar. Podemos representar o sistema usando uma matriz. As equações são:
Podemos escrever isso em forma de matriz assim:
$$
+
$$
Aqui, a matriz dos coeficientes é:
E o vetor constante é:
Passo 3
Para que a sequência
converja, a matriz
precisa ter propriedades específicas. Mais especificamente, precisamos que os valores próprios da matriz
tenham módulo menor que 1. Mas o que são valores próprios?
Valores próprios são números que, quando multiplicados por um vetor (não nulo), não mudam a direção desse vetor, apenas sua magnitude. Matematicamente, se
é um valor próprio de
, então:
Para nossa matriz
, vamos encontrar seus valores próprios resolvendo a equação característica:
Onde
é a matriz identidade. Calculando isso:
Resolvendo para
:
Passo 4
Agora que temos os valores próprios
, para garantir que a sequência converge, precisamos que o módulo (ou valor absoluto) desses valores próprios seja menor que 1. Ou seja:
Como
é um número real (assumindo que
), podemos simplificar para:
Elevando ambos os lados ao quadrado para eliminar a raiz:
Passo 5
Além disso, precisamos garantir que a sequência não apenas oscile, mas realmente se estabilize. Para isso, também consideramos os termos constantes
e
. No entanto, a principal condição para a convergência da sequência depende principalmente dos parâmetros
e
.
Portanto, a relação necessária entre os parâmetros para garantir a convergência é:
Resposta
Para garantir a convergência da sequência, os parâmetros devem satisfazer a relação
.