Considere o algoritmo iterativo
Qual deve ser a relação entre os parâmetros para garantir a convergência da seqüência?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício que você trouxe fala sobre um algoritmo iterativo, que é basicamente um método para calcular valores repetidamente até chegar a uma resposta desejada. A equação dada é:
Nosso objetivo aqui é descobrir quais relações entre os parâmetros garantem que a sequência converge, ou seja, chega perto de um valor fixo quando aumenta.
Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre sistemas lineares iterativos e como analisar a convergência usando matrizes e valores próprios (também conhecidos como autovalores).

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever o sistema de equações de uma forma que fique mais fácil de analisar. Podemos representar o sistema usando uma matriz. As equações são:
Podemos escrever isso em forma de matriz assim:

$$



+
$$
Aqui, a matriz dos coeficientes é:
E o vetor constante é:

Passo 3

Para que a sequência converja, a matriz precisa ter propriedades específicas. Mais especificamente, precisamos que os valores próprios da matriz tenham módulo menor que 1. Mas o que são valores próprios?
Valores próprios são números que, quando multiplicados por um vetor (não nulo), não mudam a direção desse vetor, apenas sua magnitude. Matematicamente, se é um valor próprio de , então:
Para nossa matriz , vamos encontrar seus valores próprios resolvendo a equação característica:
Onde é a matriz identidade. Calculando isso:
Resolvendo para :

Passo 4

Agora que temos os valores próprios , para garantir que a sequência converge, precisamos que o módulo (ou valor absoluto) desses valores próprios seja menor que 1. Ou seja:
Como é um número real (assumindo que ), podemos simplificar para:
Elevando ambos os lados ao quadrado para eliminar a raiz:

Passo 5

Além disso, precisamos garantir que a sequência não apenas oscile, mas realmente se estabilize. Para isso, também consideramos os termos constantes e . No entanto, a principal condição para a convergência da sequência depende principalmente dos parâmetros e .
Portanto, a relação necessária entre os parâmetros para garantir a convergência é:

Resposta

Para garantir a convergência da sequência, os parâmetros devem satisfazer a relação .

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a) o número de iterações
b) a raiz
c) a
precisão encontrada
Faça um comparativo dos resultados encontrados na aplicação de cada método numérico.