Determine equação da reta mais próxima ao gráfico no intervalo
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado pede para a gente encontrar a equação da reta que fica mais próxima do gráfico da função no intervalo . Aqui, a matéria envolve aproximação linear e método dos mínimos quadrados. Vamos precisar entender como ajustar uma reta para que ela “encaixe” da melhor forma possível nessa curva dentro do intervalo dado.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que uma reta tem a forma geral , onde é o coeficiente angular e é o coeficiente linear. Nosso objetivo é encontrar os valores de e que fazem essa reta ser a melhor aproximação para no intervalo .
Passo 3
Para encontrar a melhor reta, vamos usar o método dos mínimos quadrados. Esse método busca os valores de e que minimizam a soma dos quadrados das diferenças entre os valores da função e os valores da reta no intervalo considerado. Matematicamente, queremos minimizar a integral:
Passo 4
Vamos expandir o integrando:
Agora, expandimos :
Então, a integral fica:
Passo 5
Para minimizar essa integral, precisamos derivar em relação a e e igualar a zero, obtendo um sistema de equações. Vamos chamar a integral de :
Derivando em relação a e :
Passo 6
Vamos calcular cada uma das integrais:
Para :
Calculando cada parte:
Substituindo:
Para :
Calculando cada parte:
Substituindo:
Resposta
A equação da reta mais próxima ao gráfico de no intervalo é: