Determine equação da reta mais próxima ao gráfico y=e^x no intervalo [-1,1]

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado pede para a gente encontrar a equação da reta que fica mais próxima do gráfico da função no intervalo . Aqui, a matéria envolve aproximação linear e método dos mínimos quadrados. Vamos precisar entender como ajustar uma reta para que ela “encaixe” da melhor forma possível nessa curva dentro do intervalo dado.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que uma reta tem a forma geral , onde é o coeficiente angular e é o coeficiente linear. Nosso objetivo é encontrar os valores de e que fazem essa reta ser a melhor aproximação para no intervalo .

Passo 3

Para encontrar a melhor reta, vamos usar o método dos mínimos quadrados. Esse método busca os valores de integral-1^1 ( e^x - (mx + b) )^2 dx e que minimizam a soma dos quadrados das diferenças entre os valores da função e os valores da reta no intervalo considerado. Matematicamente, queremos minimizar a integral:

Passo 4

Vamos expandir o integrando:
( e^x - mx - b )^2 = e^2x - 2e^x(mx + b) + (mx + b)^2
Agora, expandimos (mx + b)^2 = m^2x^2 + 2bmx + b^2 :
integral-1^1 e^2x - 2m x e^x - 2b e^x + m^2x^2 + 2b m x + b^2 dx
Então, a integral fica:

Passo 5

Para minimizar essa integral, precisamos derivar em relação a I(m, b) = integral-1^1 e^2x - 2m x e^x - 2b e^x + m^2x^2 + 2b m x + b^2 dx e partial Ipartial m = integral-1^1 -2x e^x + 2m x^2 + 2b x dx = 0 e igualar a zero, obtendo um sistema de equações. Vamos chamar a integral de partial Ipartial b = integral-1^1 -2 e^x + 2m x + 2b dx = 0 :
Derivando em relação a e :

Passo 6

Vamos calcular cada uma das integrais:
Para -2 integral-1^1 x e^x dx + 2m integral-1^1 x^2 dx + 2b integral-1^1 x dx = 0 :
integral x e^x dx = e^x(x - 1) + C implies [e^1(1 - 1) - e^-1(-1 -1)] = 0 - e^-1(-2) = 2e^-1
Calculando cada parte:
integral x^2 dx = x^33 |-1^1 = 13 - (-13) = 23
integral x dx = x^22 |-1^1 = 12 - 12 = 0
-2(2e^-1) + 2m (23) + 2b(0) = 0 implies -4e^-1 + 4m3 = 0
Substituindo:
4m3 = 4e^-1 implies m = 3e^-1
-2 integral e^x dx + 2m integral x dx + 2b integral dx = 0
Para integral e^x dx = e^x + C implies e^1 - e^-1 = e - e^-1 :
integral x dx = x^22 |-1^1 = 12 - 12 = 0
Calculando cada parte:
integral dx = x |-1^1 = 1 - (-1) = 2
-2(e - e^-1) + 2m(0) + 2b(2) = 0 implies -2e + 2e^-1 + 4b = 0
4b = 2e - 2e^-1 implies b = e - e^-12
Substituindo:

Resposta

A equação da reta mais próxima ao gráfico de y = 3ex + e - 1e2 no intervalo é:

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