Determine equação da reta mais próxima ao gráfico no intervalo

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado pede para a gente encontrar a equação da reta que fica mais próxima do gráfico da função no intervalo . Aqui, a matéria envolve aproximação linear e método dos mínimos quadrados. Vamos precisar entender como ajustar uma reta para que ela “encaixe” da melhor forma possível nessa curva dentro do intervalo dado.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que uma reta tem a forma geral , onde é o coeficiente angular e é o coeficiente linear. Nosso objetivo é encontrar os valores de e que fazem essa reta ser a melhor aproximação para no intervalo .

Passo 3

Para encontrar a melhor reta, vamos usar o método dos mínimos quadrados. Esse método busca os valores de e que minimizam a soma dos quadrados das diferenças entre os valores da função e os valores da reta no intervalo considerado. Matematicamente, queremos minimizar a integral:

Passo 4

Vamos expandir o integrando:
Agora, expandimos :
Então, a integral fica:

Passo 5

Para minimizar essa integral, precisamos derivar em relação a e e igualar a zero, obtendo um sistema de equações. Vamos chamar a integral de :
Derivando em relação a e :

Passo 6

Vamos calcular cada uma das integrais:
Para :
Calculando cada parte:
Substituindo:
Para :
Calculando cada parte:
Substituindo:

Resposta

A equação da reta mais próxima ao gráfico de no intervalo é:

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