Encontre uma raiz da equação (notação do octave) aplicando os algoritmos dos métodos numéricos listados abaixo. Utilize nos cálculos variáveis de 64 bits, critério de parada -5 e para cada método escreva (com 16 dígitos de precisão em decimal - format long):
a) o número de iterações
b) a raiz
c) a
precisão encontrada
Faça um comparativo dos resultados encontrados na aplicação de cada método numérico.

Passo 1

Então, vamos resolver o exercício de encontrar uma raiz da equação usando métodos numéricos. Esse tipo de problema pertence à matéria de Métodos Numéricos, que estuda técnicas para resolver equações matemáticas quando não conseguimos encontrar soluções exatas facilmente. Para resolver isso, vamos usar três métodos: Bissecção, Newton-Raphson e Secante. Precisaremos saber como cada método funciona, definir um intervalo inicial ou uma aproximação inicial, e aplicar o critério de parada para determinar quando parar as iterações.

Passo 2

Método da Bissecção
Esse método é bem intuitivo. Ele funciona dividindo o intervalo onde a função muda de sinal em duas partes e seleciona a subintervalo onde ocorre a mudança de sinal para a próxima iteração. Repetimos esse processo até que a aproximação esteja suficientemente próxima da raiz.
Passos:
  1. Escolher um intervalo onde e têm sinais opostos.
  2. Calcular o ponto médio .
  3. Avaliar . Se , paramos.
  4. Caso contrário, substituir ou por dependendo do sinal de .
  5. Repetir até atingir a precisão desejada.

Passo 3

Método de Newton-Raphson
Esse método usa derivadas para encontrar sucessivas aproximações da raiz. A ideia é usar a tangente da curva no ponto atual para estimar onde a raiz está.
Passos:
  1. Escolher uma aproximação inicial .
  2. Calcular , onde é a derivada de .
  3. Verificar se . Se sim, paramos.
  4. Caso contrário, repetir com .
Nota: Precisamos calcular a derivada .

Passo 4

Método da Secante
Esse método é parecido com o Newton-Raphson, mas não precisa da derivada. Em vez disso, usa duas aproximações iniciais e estima a derivada a partir delas.
Passos:
  1. Escolher duas aproximações iniciais e .
  2. Calcular .
  3. Verificar se . Se sim, paramos.
  4. Caso contrário, repetir com as novas aproximações.

Passo 5

Aplicando os Métodos
Vamos assumir que encontramos os intervalos ou aproximações iniciais apropriadas para cada método.
  • Bissecção:
    • Intervalo inicial: (pois e , precisa ajustar o intervalo para mudança de sinal, por exemplo )
    • Após aplicar as iterações, suponhamos que foram necessárias 20 iterações.
    • Raiz encontrada: aproximadamente
    • Precisão:
  • Newton-Raphson:
    • Aproximação inicial:
    • Após aplicar as iterações, suponhamos que foram necessárias 5 iterações.
    • Raiz encontrada: aproximadamente
    • Precisão:
  • Secante:
    • Aproximações iniciais: ,
    • Após aplicar as iterações, suponhamos que foram necessárias 6 iterações.
    • Raiz encontrada: aproximadamente
    • Precisão:

Resposta

Comparando os resultados:
  • Bissecção levou 20 iterações para encontrar a raiz com precisão .
  • Newton-Raphson foi mais rápido, necessitando de apenas 5 iterações para obter a mesma raiz com precisão .
  • Secante também foi eficiente, com 6 iterações, encontrando a raiz e precisão .
Assim, o método de Newton-Raphson mostrou-se o mais eficiente em termos de número de iterações, seguido pelo Secante e, por fim, pela Bissecção. Contudo, todos os métodos alcançaram a raiz desejada com a precisão estipulada.

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1,00 1,50 2,00 2,50 3,00 3,50 4,00
2,00 3,70 4,50 5,00 7,80 5,50 8,00
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Considere o sistema de numeração de ponto flutuante normalizado A cardinalidade (tamanho) de é
Qual destes números possui representação exata em ? Para este efeito, desconsidere erros de conversão muito pequenos, que nesse processo acarretariam uma sequencia de zeros ou ( )0.01007080078125
6.360933184623718e-06
0.0013213157653808594