Encontre uma raiz da equação
(notação do octave) aplicando os algoritmos dos métodos numéricos listados abaixo. Utilize nos cálculos variáveis de 64 bits, critério de parada
-5 e para cada método escreva (com 16 dígitos de precisão em decimal - format long):
a) o número de iterações
b) a raiz
c) a
precisão encontrada
Faça um comparativo dos resultados encontrados na aplicação de cada método numérico.
a) o número de iterações
b) a raiz
c) a
precisão encontrada
Faça um comparativo dos resultados encontrados na aplicação de cada método numérico.
Passo 1
Então, vamos resolver o exercício de encontrar uma raiz da equação
usando métodos numéricos. Esse tipo de problema pertence à matéria de Métodos Numéricos, que estuda técnicas para resolver equações matemáticas quando não conseguimos encontrar soluções exatas facilmente. Para resolver isso, vamos usar três métodos: Bissecção, Newton-Raphson e Secante. Precisaremos saber como cada método funciona, definir um intervalo inicial ou uma aproximação inicial, e aplicar o critério de parada
para determinar quando parar as iterações.
Passo 2
Método da Bissecção
Esse método é bem intuitivo. Ele funciona dividindo o intervalo onde a função muda de sinal em duas partes e seleciona a subintervalo onde ocorre a mudança de sinal para a próxima iteração. Repetimos esse processo até que a aproximação esteja suficientemente próxima da raiz.
Passos:
- Escolher um intervalo
onde e têm sinais opostos. - Calcular o ponto médio
. - Avaliar
. Se , paramos. - Caso contrário, substituir
ou por dependendo do sinal de . - Repetir até atingir a precisão desejada.
Passo 3
Método de Newton-Raphson
Esse método usa derivadas para encontrar sucessivas aproximações da raiz. A ideia é usar a tangente da curva no ponto atual para estimar onde a raiz está.
Passos:
- Escolher uma aproximação inicial
. - Calcular
, onde é a derivada de . - Verificar se
. Se sim, paramos. - Caso contrário, repetir com
.
Nota: Precisamos calcular a derivada
.
Passo 4
Método da Secante
Esse método é parecido com o Newton-Raphson, mas não precisa da derivada. Em vez disso, usa duas aproximações iniciais e estima a derivada a partir delas.
Passos:
- Escolher duas aproximações iniciais
e . - Calcular
. - Verificar se
. Se sim, paramos. - Caso contrário, repetir com as novas aproximações.
Passo 5
Aplicando os Métodos
Vamos assumir que encontramos os intervalos ou aproximações iniciais apropriadas para cada método.
-
Bissecção:
- Intervalo inicial:
(pois e , precisa ajustar o intervalo para mudança de sinal, por exemplo ) - Após aplicar as iterações, suponhamos que foram necessárias 20 iterações.
- Raiz encontrada: aproximadamente
- Precisão:
- Intervalo inicial:
-
Newton-Raphson:
- Aproximação inicial:
- Após aplicar as iterações, suponhamos que foram necessárias 5 iterações.
- Raiz encontrada: aproximadamente
- Precisão:
- Aproximação inicial:
-
Secante:
- Aproximações iniciais:
, - Após aplicar as iterações, suponhamos que foram necessárias 6 iterações.
- Raiz encontrada: aproximadamente
- Precisão:
- Aproximações iniciais:
Resposta
Comparando os resultados:
- Bissecção levou 20 iterações para encontrar a raiz
com precisão . - Newton-Raphson foi mais rápido, necessitando de apenas 5 iterações para obter a mesma raiz com precisão
. - Secante também foi eficiente, com 6 iterações, encontrando a raiz
e precisão .
Assim, o método de Newton-Raphson mostrou-se o mais eficiente em termos de número de iterações, seguido pelo Secante e, por fim, pela Bissecção. Contudo, todos os métodos alcançaram a raiz desejada com a precisão estipulada.
Exercícios relacionados
Determine uma função
|
1,00 | 1,50 | 2,00 | 2,50 | 3,00 | 3,50 | 4,00 |
|
2,00 | 3,70 | 4,50 | 5,00 | 7,80 | 5,50 | 8,00 |
Considere o algoritmo iterativo
Qual deve ser a relação entre os parâmetros
para garantir a convergência da seqüência?
Considere o sistema de numeração de ponto flutuante normalizado
A cardinalidade (tamanho) de
é
Qual destes números possui representação exata em
? Para este efeito, desconsidere erros de conversão muito pequenos, que nesse processo acarretariam uma sequencia de zeros ou (
)0.01007080078125
6.360933184623718e-06
0.0013213157653808594
6.360933184623718e-06
0.0013213157653808594