(2,5)
Determine uma função f(x)=b e^a x que melhor se ajusta aos pontos da tabela
l||c|c|c|c|c|c|c $xi$ & 1,00 & 1,50 & 2,00 & 2,50 & 3,00 & 3,50 & 4,00 hline$yi$ & 2,00 & 3,70 & 4,50 & 5,00 & 7,80 & 5,50 & 8,00 1,00 1,50 2,00 2,50 3,00 3,50 4,00
2,00 3,70 4,50 5,00 7,80 5,50 8,00

Passo 1

Resumo da Questão e Conceitos Envolvidos
Vamos resolver um exercício onde precisamos encontrar uma função exponencial da forma que melhor se ajusta aos pontos fornecidos na tabela. Para isso, vamos usar conceitos de Regressão Linear aplicados após transformar os dados para linearizar a relação exponencial. Precisaremos calcular alguns valores intermediários, como somas de , , e , para determinar os coeficientes e da função.

Passo 2

Transformando os Dados com Logaritmo Natural
Primeiro, vamos linearizar a função exponencial aplicando o logaritmo natural nos valores de ln(y) = ln(b) + a x . Isso nos ajuda a transformar a relação exponencial em uma relação linear que podemos analisar com regressão linear.
|c|c|c| hline xi & yi & ln(yi) hline 1,00 & 2,00 & 0,6931 1,50 & 3,70 & 1,3083 2,00 & 4,50 & 1,5041 2,50 & 5,00 & 1,6094 3,00 & 7,80 & 2,0541 3,50 & 5,50 & 1,7047 4,00 & 8,00 & 2,0794 hline
Vamos calcular para cada ponto da tabela:

Passo 3

Calculando as Somatórias Necessárias para a Regressão Linear
Vamos agora calcular as seguintes somas:
n &= 7 (número de pontos) sum xi &= 1 + 1,5 + 2 + 2,5 + 3 + 3,5 + 4 = 17,5 sum ln(yi) &= 0,6931 + 1,3083 + 1,5041 + 1,6094 + 2,0541 + 1,7047 + 2,0794 approx 10,9531 sum xi ln(yi) &= (1 times 0,6931) + (1,5 times 1,3083) + (2 times 1,5041) + (2,5 times 1,6094) + (3 times 2,0541) + (3,5 times 1,7047) + (4 times 2,0794) approx 30,1337 sum xi^2 &= 1^2 + 1,5^2 + 2^2 + 2,5^2 + 3^2 + 3,5^2 + 4^2 = 50,75 ú

Passo 4

Calculando os Coeficientes a = n sum (xi ln yi) - sum xi sum ln yin sum xi^2 - (sum xi)^2 e ln(b) = sum ln yi - a sum xin da Regressão Linear
Usamos as fórmulas da regressão linear para encontrar a = 7 times 30,1337 - 17,5 times 10,95317 times 50,75 - (17,5)^2 = 210,936 - 191,51325355,25 - 306,25 = 19,4227549 approx 0,396 e ln(b) = 10,9531 - 0,396 times 17,57 = 10,9531 - 6,937 = 4,02317 approx 0,5747 :
Substituindo os valores calculados:

Passo 5

Determinação do Coeficiente b = e^0,5747 approx 1,776
Para encontrar , elevamos ao valor de :

Passo 6

Escrevendo a Função Exponencial Ajustada
Com os valores de f(x) = 1,776 , e^0,396 , x e determinados, a função exponencial que melhor se ajusta aos dados é:

Resposta

A função que melhor se ajusta aos pontos da tabela é:
f(x) = 1,776 , e^0,396 , x

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