Sabendo os valores de A e B, descreve algoritmo para calcular a quantidade X=raizA^2+B^2-A com menor erro relativo. Leva em conta dois sinais possíveis de A.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos dois valores, e , e precisamos calcular a quantidade . O objetivo é desenvolver um algoritmo para calcular com o menor erro relativo possível, considerando que pode ser positivo ou negativo. Para resolver isso, vamos usar conceitos de álgebra e análise de erros numéricos.

Passo 2

Vamos analisar a expressão dada: . Ao calcular essa expressão diretamente, especialmente quando é grande em comparação com , podemos enfrentar problemas de precisão numérica devido à subtração de dois números próximos. Para minimizar o erro relativo, precisamos reformular a expressão de uma maneira que evite essa subtração problemática.

Passo 3

Uma técnica comum para melhorar a precisão é multiplicar e dividir por um termo conjugado. Vamos multiplicar a expressão por X = ( raizA^2 + B^2 - A ) times raizA^2 + B^2 + AraizA^2 + B^2 + A :

Passo 4

Simplificando o numerador usando a identidade X = (raizA^2 + B^2)^2 - A^2raizA^2 + B^2 + A :
X = A^2 + B^2 - A^2raizA^2 + B^2 + A
X = B^2raizA^2 + B^2 + A

Passo 5

Agora, a expressão está reescrita de forma que evita a subtração de dois números grandes semelhantes, o que reduz o erro relativo. Além disso, precisamos considerar os dois sinais possíveis de X = B^2raizA^2 + B^2 + A :
  • Caso 1: X = B^2raizA^2 + B^2 - |A|
    A expressão permanece como está:
  • Caso 2:
    Substituímos por na expressão:

Passo 6

Com base nas duas situações acima, podemos criar um algoritmo que verifica o sinal de e calcula de acordo:
  1. Verificar o sinal de :
    • Se , usar
    • Se , usar
  2. Realizar o cálculo conforme o caso:
    • Calcular
    • Aplicar a fórmula correspondente ao sinal de

Resposta

Portanto, o algoritmo para calcular com menor erro relativo, considerando os dois sinais possíveis de , é:
  1. Verificar se é positivo ou negativo.
  2. Se , calcular .
  3. Se , calcular .
  4. Retornar o valor de .
Essa abordagem garante maior precisão no cálculo de , evitando problemas de cancelamento numérico quando é grande.

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