Sabendo os valores de e , descreve algoritmo para calcular a quantidade com menor erro relativo. Leva em conta dois sinais possíveis de .

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos dois valores, e , e precisamos calcular a quantidade . O objetivo é desenvolver um algoritmo para calcular com o menor erro relativo possível, considerando que pode ser positivo ou negativo. Para resolver isso, vamos usar conceitos de álgebra e análise de erros numéricos.

Passo 2

Vamos analisar a expressão dada: . Ao calcular essa expressão diretamente, especialmente quando é grande em comparação com , podemos enfrentar problemas de precisão numérica devido à subtração de dois números próximos. Para minimizar o erro relativo, precisamos reformular a expressão de uma maneira que evite essa subtração problemática.

Passo 3

Uma técnica comum para melhorar a precisão é multiplicar e dividir por um termo conjugado. Vamos multiplicar a expressão por :

Passo 4

Simplificando o numerador usando a identidade :

Passo 5

Agora, a expressão está reescrita de forma que evita a subtração de dois números grandes semelhantes, o que reduz o erro relativo. Além disso, precisamos considerar os dois sinais possíveis de :
  • Caso 1:
    A expressão permanece como está:
  • Caso 2:
    Substituímos por na expressão:

Passo 6

Com base nas duas situações acima, podemos criar um algoritmo que verifica o sinal de e calcula de acordo:
  1. Verificar o sinal de :
    • Se , usar
    • Se , usar
  2. Realizar o cálculo conforme o caso:
    • Calcular
    • Aplicar a fórmula correspondente ao sinal de

Resposta

Portanto, o algoritmo para calcular com menor erro relativo, considerando os dois sinais possíveis de , é:
  1. Verificar se é positivo ou negativo.
  2. Se , calcular .
  3. Se , calcular .
  4. Retornar o valor de .
Essa abordagem garante maior precisão no cálculo de , evitando problemas de cancelamento numérico quando é grande.

Exercícios relacionados

Determine equação da reta mais próxima ao gráfico no intervalo
Escreve a função de iteração para resolver equação pelo método de Newton.
Considere o algoritmo iterativo
Qual deve ser a relação entre os parâmetros para garantir a convergência da seqüência?

Determine uma função que melhor se ajusta aos pontos da tabela
1,00 1,50 2,00 2,50 3,00 3,50 4,00
2,00 3,70 4,50 5,00 7,80 5,50 8,00