Considere uma bolinha solta de uma altura . Qual é a sequência das alturas da bolinha enquanto a mesma vai quicando?

Passo 1

Então, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma bolinha sendo solta de uma altura inicial , onde é maior que zero. A pergunta quer saber qual é a sequência das alturas que a bolinha alcança cada vez que ela quica. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre como a energia se comporta quando a bolinha quica e como calcular as alturas subsequentes após cada quique.

Passo 2

Primeiro, vamos pensar no que acontece quando a bolinha é solta. Ela cai da altura devido à gravidade e ganha velocidade até atingir o chão. No momento do impacto, parte dessa energia é perdida, e a bolinha quica de volta. A altura que ela alcança após o quique depende de quanta energia foi conservada durante o impacto.

Passo 3

Para descrever matematicamente, usamos o coeficiente de restituição, que é um número entre 0 e 1 e representa a fração da energia que a bolinha mantém após o quique. Vamos chamar esse coeficiente de . Assim, se a bolinha cai de uma altura , a altura que ela alcança após o primeiro quique será .

Passo 4

Cada quique subsequente seguirá o mesmo padrão. Ou seja, a altura após o segundo quique será , e assim por diante. Isso cria uma sequência onde cada altura é a anterior multiplicada por .

Passo 5

Então, a sequência das alturas que a bolinha alcança pode ser representada assim:
Essa é uma sequência geométrica onde cada termo é obtido multiplicando o termo anterior por .

Resposta

A sequência das alturas que a bolinha alcança enquanto ela quica é:

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