Considere:
checkmark o passo de integraçāo
: De;
checkmark a condiçāo inicial
: y(t=0)=1,1
checkmark a equaçāo
: d y(t)d t=t^2,5+1raizy(t)
checkmark a método
: EULER
checkmark a forma
: IMPLÍCITA
Calcule os valores de y(t=1,0) e y(t=1,5)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente vai usar o Método de Euler Implícito para encontrar os valores de dy(t)dt = t^2,5 + 1raizy(t) nos tempos e . A gente tem um passo de integração de , uma condição inicial , e a equação diferencial dada por:
Vamos precisar entender como aplicar o Método de Euler Implícito, que é uma técnica numérica para resolver equações diferenciais. Esse método envolve resolver uma equação que inclui o valor futuro de , o que geralmente requer resolver uma equação não linear a cada passo.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular yn+1 = yn + De. No Método de Euler Implícito, a fórmula geral é:
y1 = y0 + 0,5 cdot ( (0,5)^2,5 + 1raizy1 )
Aqui, y1 = 1,1 + 0,5 cdot ( 0,5^2,5 + 1raizy1 ) . Para 0,5^2,5 = 0,5^2 cdot 0,5^0,5 = 0,25 cdot 0,7071 approx 0,1768 :
y1 = 1,1 + 0,5 cdot ( 0,1768 + 1raizy1 )
Isso nos dá uma equação que precisamos resolver para y1 approx 1,1 + 0,5 cdot ( 0,1768 + 1raiz1,1 ) approx 1,1 + 0,5 cdot (0,1768 + 0,9535) approx 1,1 + 0,5 cdot 1,1303 approx 1,1 + 0,5652 = 1,6652 . Vamos reescrever:
y1 approx 1,1 + 0,5 cdot ( 0,1768 + 1raiz1,6652 ) approx 1,1 + 0,5 cdot (0,1768 + 0,775) approx 1,1 + 0,5 cdot 0,9518 approx 1,1 + 0,4759 = 1,5759
Calculando :
Então, temos:
Essa é uma equação não linear e geralmente precisamos resolver numericamente. Vamos fazer uma aproximação inicial, assumindo :
Vamos usar para melhorar nossa estimativa:
Vamos arredondar para .

Passo 3

Agora, vamos calcular y2 = y1 + 0,5 cdot ( 1,0^2,5 + 1raizy2 ) . Usando o valor de y2 = 1,576 + 0,5 cdot ( 1 + 1raizy2 ) , aplicamos novamente o Método de Euler Implícito:
y2 approx 1,576 + 0,5 cdot ( 1 + 1raiz1,576 ) approx 1,576 + 0,5 cdot (1 + 0,796) approx 1,576 + 0,5 cdot 1,796 approx 1,576 + 0,898 = 2,474
Calculando y2 approx 1,576 + 0,5 cdot ( 1 + 1raiz2,474 ) approx 1,576 + 0,5 cdot (1 + 0,636) approx 1,576 + 0,5 cdot 1,636 approx 1,576 + 0,818 = 2,394 :
Novamente, precisamos resolver numericamente. Vamos aproximar inicialmente com :
Melhorando a estimativa com :
Vamos arredondar para .

Passo 4

Por fim, vamos calcular y3 = y2 + 0,5 cdot ( 1,5^2,5 + 1raizy3 ) usando 1,5^2,5 = 1,5^2 cdot 1,5^0,5 approx 2,25 cdot 1,2247 approx 2,755 :
y3 = 2,394 + 0,5 cdot ( 2,755 + 1raizy3 )
Calculando y3 approx 2,394 + 0,5 cdot ( 2,755 + 1raiz2,394 ) approx 2,394 + 0,5 cdot (2,755 + 0,645) approx 2,394 + 0,5 cdot 3,400 approx 2,394 + 1,700 = 4,094 :
y3 approx 2,394 + 0,5 cdot ( 2,755 + 1raiz4,094 ) approx 2,394 + 0,5 cdot (2,755 + 0,494) approx 2,394 + 0,5 cdot 3,249 approx 2,394 + 1,6245 = 4,0185
Então:
Vamos aproximar inicialmente com :
Melhorando a estimativa com :
Vamos arredondar para .

Resposta

Os valores calculados são:
y(t=1,0) approx 2,394 e y(t=1,5) approx 4,019

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