Considere:
checkmark o passo de integraçāo
: De;
checkmark a condiçāo inicial
: y(t=0)=2,7
checkmark a equaçāo diferencial
: d y(t)d t=sen(t)+1y(t)
checkmark o método
: RUNGE-KUTTA 4̊ㅡ․ ORDEM PADRĀO
checkmark a forma
: EXPLICITA
Calcule os valores de y(t=2,0); y(t=3,0) e y(t=4,0)

Passo 1

Beleza! Vamos resolver esse exercício juntos. Primeiro, vamos entender o que foi pedido:
  • Conteúdo da matéria: Método de Runge-Kutta de 4ª ordem para resolver equações diferenciais.
  • O que precisamos:
    • A equação diferencial dada:
    • Condição inicial:
    • Passo de integração:
    • Método: Runge-Kutta 4ª ordem (RK4), forma explícita.
Vamos calcular os valores de para , e usando o método RK4.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como funciona o método Runge-Kutta de 4ª ordem. Esse método é usado para aproximar soluções de equações diferenciais quando não é fácil encontrar a solução exata.
A ideia é calcular uma média ponderada de quatro “inclinações” (chamadas de yn+1 = yn + 16(k1 + 2k2 + 2k3 + k4) , k1 = h cdot f(tn, yn) , k2 = h cdot f(tn + h2, yn + k12) , k3 = h cdot f(tn + h2, yn + k22) ) que nos ajudam a estimar o próximo valor de k4 = h cdot f(tn + h, yn + k3) . A fórmula geral é:
Onde:
Aqui, é o passo de integração ( ) e é a função da equação diferencial, que no nosso caso é .

Passo 3

Vamos começar com k1 = 1,0 cdot ( sin(0) + 12,7 ) = 0 + 0,37037 ≈ 0,37037 e k2 = 1,0 cdot ( sin(0 + 0,5) + 12,7 + 0,37037/2 ) ≈ 1,0 cdot ( 0,479426 + 12,88519 ) ≈ 0,479426 + 0,34699 ≈ 0,826416 .
Para k3 = 1,0 cdot ( sin(0 + 0,5) + 12,7 + 0,826416/2 ) ≈ 1,0 cdot ( 0,479426 + 13,113208 ) ≈ 0,479426 + 0,32118 ≈ 0,800606 :
Calculamos k4 = 1,0 cdot ( sin(0 + 1,0) + 12,7 + 0,800606 ) ≈ 1,0 cdot ( 0,841471 + 13,500606 ) ≈ 0,841471 + 0,28567 ≈ 1,127142 , y1 = 2,7 + 16(0,37037 + 2 cdot 0,826416 + 2 cdot 0,800606 + 1,127142) ≈ 2,7 + 16(0,37037 + 1,652832 + 1,601212 + 1,127142) ≈ 2,7 + 16(4,751556) ≈ 2,7 + 0,791926 ≈ 3,491926 , e :
Agora, aplicamos a fórmula do RK4:
Arredondando, .

Passo 4

Agora, vamos para k1 = 1,0 cdot ( sin(1,0) + 13,491926 ) ≈ 1,0 cdot (0,841471 + 0,28601) ≈ 1,127481 :
Para k2 = 1,0 cdot ( sin(1 + 0,5) + 13,491926 + 1,127481/2 ) ≈ 1,0 cdot (0,977530 + 13,491926 + 0,563741 ) ≈ 0,977530 + 14,055667 ≈ 0,977530 + 0,24658 ≈ 1,22411 :
k3 = 1,0 cdot ( sin(1 + 0,5) + 13,491926 + 1,22411/2 ) ≈ 1,0 cdot (0,977530 + 13,491926 + 0,612055 ) ≈ 0,977530 + 14,103981 ≈ 0,977530 + 0,24392 ≈ 1,22145
k4 = 1,0 cdot ( sin(1 + 1,0) + 13,491926 + 1,22145 ) ≈ 1,0 cdot (0,841471 + 14,713376) ≈ 0,841471 + 0,21214 ≈ 1,05361
y2 = 3,491926 + 16(1,127481 + 2 cdot 1,22411 + 2 cdot 1,22145 + 1,05361) ≈ 3,491926 + 16(1,127481 + 2,44822 + 2,4429 + 1,05361) ≈ 3,491926 + 16(7,071212) ≈ 3,491926 + 1,178536 ≈ 4,670462
Aplicando o RK4:
Arredondando, .

Passo 5

Vamos continuar para k1 = 1,0 cdot ( sin(2,0) + 14,670462 ) ≈ 1,0 cdot (0,909297 + 0,2143) ≈ 1,1236 :
Para k2 = 1,0 cdot ( sin(2 + 0,5) + 14,670462 + 1,1236/2 ) ≈ 1,0 cdot (sin(2,5) + 14,670462 + 0,5618) ≈ 1,0 cdot (0,598472 + 15,2323) ≈ 0,598472 + 0,19116 ≈ 0,78963 :
k3 = 1,0 cdot ( sin(2 + 0,5) + 14,670462 + 0,78963/2 ) ≈ 1,0 cdot (sin(2,5) + 14,670462 + 0,394815) ≈ 0,598472 + 15,065277 ≈ 0,598472 + 0,1974 ≈ 0,795872
k4 = 1,0 cdot ( sin(2 + 1,0) + 14,670462 + 0,795872 ) ≈ 1,0 cdot (sin(3,0) + 15,466334) ≈ 1,0 cdot (0,141120 + 0,1833) ≈ 0,141120 + 0,1833 ≈ 0,32442
y3 = 4,670462 + 16(1,1236 + 2 cdot 0,78963 + 2 cdot 0,795872 + 0,32442) ≈ 4,670462 + 16(1,1236 + 1,57926 + 1,591744 + 0,32442) ≈ 4,670462 + 16(4,618024) ≈ 4,670462 + 0,76967 ≈ 5,440132
Aplicando o RK4:
Arredondando, .

Passo 6

Finalmente, vamos calcular para k1 = 1,0 cdot ( sin(3,0) + 15,440132 ) ≈ 1,0 cdot (0,141120 + 0,18389) ≈ 0,3250 :
Para k2 = 1,0 cdot ( sin(3 + 0,5) + 15,440132 + 0,3250/2 ) ≈ 1,0 cdot (sin(3,5) + 15,440132 + 0,1625) ≈ 1,0 cdot (-0,350783 + 15,6026) ≈ -0,350783 + 0,17827 ≈ -0,172513 :
k3 = 1,0 cdot ( sin(3 + 0,5) + 15,440132 + (-0,172513)/2 ) ≈ 1,0 cdot (sin(3,5) + 15,440132 - 0,086257) ≈ -0,350783 + 15,353875 ≈ -0,350783 + 0,1866 ≈ -0,164183
k4 = 1,0 cdot ( sin(3 + 1,0) + 15,440132 + (-0,164183) ) ≈ 1,0 cdot (sin(4,0) + 15,27595) ≈ 1,0 cdot (-0,756802 + 0,1897) ≈ -0,756802 + 0,1897 ≈ -0,5671
y4 = 5,440132 + 16(0,3250 + 2 cdot (-0,172513) + 2 cdot (-0,164183) + (-0,5671)) ≈ 5,440132 + 16(0,3250 - 0,345026 - 0,328366 - 0,5671) ≈ 5,440132 + 16(-0,915492) ≈ 5,440132 - 0,152582 ≈ 5,28755
Aplicando o RK4:
Arredondando, .

Resposta

Os valores calculados são:

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