Considere:
o passo de integraçāo
;
a condicāo inicial
a equaçāo diferencial
o método : RUNGE-KUTTA-GILL 4̊ㅗ. ORDEM
a forma : EXPLICITA
Calcule os valores de
e
Calcule os valores de
Passo 1
Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos uma equação diferencial
com condição inicial
e queremos encontrar os valores de
nos pontos
e
. Para isso, vamos usar o método de Runge-Kutta-Gill de quarta ordem, que é um jeito bem bacana de aproximar soluções de equações diferenciais de forma explicita. Vamos precisar entender como esse método funciona e aplicar passo a passo para chegar nos resultados.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o método de Runge-Kutta de quarta ordem (RK4). É um método numérico que nos ajuda a resolver equações diferenciais ordinárias aproximando a solução em pequenos passos. A ideia é calcular várias “inclinações” (taxas de mudança) ao longo do intervalo e combinar essas inclinações para obter uma boa aproximação do valor de
no próximo ponto.
Aqui estão as fórmulas gerais do RK4:
No nosso caso,
, e
.
Passo 3
Vamos começar calculando
usando a condição inicial
.
Calculando os
:
Agora, aplicamos a fórmula do RK4:
Então,
.
Passo 4
Agora, vamos calcular
usando
.
Calculando os
:
Aplicando a fórmula do RK4:
Então,
.
Passo 5
Vamos agora calcular
usando
. Embora a questão não peça diretamente, esse passo é necessário para chegar a
.
Calculando os
:
Aplicando a fórmula do RK4:
Então,
.
Passo 6
Finalmente, vamos calcular
usando
.
Calculando os
:
Aplicando a fórmula do RK4:
Então,
.
Resposta
Os valores aproximados são: