Considere:
checkmark o passo de integraçāo : De;
checkmark a condicāo inicial : y(t=0)=8,6
checkmark a equaçāo diferencial : d y(t)d t=t^2,5+y(t)
checkmark o método : RUNGE-KUTTA-GILL 4̊ㅗ. ORDEM
checkmark a forma : EXPLICITA
Calcule os valores de y(t=2,2) e y(t=4,4)

Passo 1

Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos uma equação diferencial com condição inicial e queremos encontrar os valores de nos pontos e . Para isso, vamos usar o método de Runge-Kutta-Gill de quarta ordem, que é um jeito bem bacana de aproximar soluções de equações diferenciais de forma explicita. Vamos precisar entender como esse método funciona e aplicar passo a passo para chegar nos resultados.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o método de Runge-Kutta de quarta ordem (RK4). É um método numérico que nos ajuda a resolver equações diferenciais ordinárias aproximando a solução em pequenos passos. A ideia é calcular várias “inclinações” (taxas de mudança) ao longo do intervalo e combinar essas inclinações para obter uma boa aproximação do valor de k1 &= f(tn, yn) k2 &= f(tn + De no próximo ponto.
Aqui estão as fórmulas gerais do RK4:
No nosso caso, , e .

Passo 3

Vamos começar calculando t0 = 0, y0 = 8,6, De usando a condição inicial k1 = f(t0, y0) = (0)^2,5 + 8,6 = 0 + 8,6 = 8,6 .
k2 = f(0 + 1,12, 8,6 + 1,12 cdot 8,6) = f(0,55, , 8,6 + 4,3) = f(0,55, 12,9) = (0,55)^2,5 + 12,9 approx 0,0 + 12,9 = 12,9
Calculando os k3 = f(0 + 1,12, 8,6 + 1,12 cdot 12,9) = f(0,55, 8,6 + 7,05) = f(0,55, 15,65) = (0,55)^2,5 + 15,65 approx 0,0 + 15,65 = 15,65 :
k4 = f(0 + 1,1, 8,6 + 1,1 cdot 15,65) = f(1,1, 8,6 + 17,215) = f(1,1, 25,815) = (1,1)^2,5 + 25,815 approx 1,157 + 25,815 approx 26,972
y1 = 8,6 + 1,16 (8,6 + 2 cdot 12,9 + 2 cdot 15,65 + 26,972) approx 8,6 + 0,1833 cdot (8,6 + 25,8 + 31,3 + 26,972) approx 8,6 + 0,1833 cdot 92,672 approx 8,6 + 16,96 approx 25,56
Agora, aplicamos a fórmula do RK4:
Então, .

Passo 4

Agora, vamos calcular t1 = 1,1, y1 approx 25,56, De usando k1 = f(t1, y1) = (1,1)^2,5 + 25,56 approx 1,157 + 25,56 approx 26,717 .
k2 = f(1,1 + 1,12, 25,56 + 1,12 cdot 26,717) = f(1,65, , 25,56 + 14,6935) = f(1,65, 40,2535) = (1,65)^2,5 + 40,2535 approx 3,243 + 40,2535 approx 43,4965
Calculando os k3 = f(1,1 + 1,12, 25,56 + 1,12 cdot 43,4965) = f(1,65, 25,56 + 23,923) = f(1,65, 49,483) = (1,65)^2,5 + 49,483 approx 3,243 + 49,483 approx 52,726 :
k4 = f(1,1 + 1,1, 25,56 + 1,1 cdot 52,726) = f(2,2, 25,56 + 57,9986) = f(2,2, 83,5586) = (2,2)^2,5 + 83,5586 approx 6,685 + 83,5586 approx 90,2436
y2 = 25,56 + 1,16 (26,717 + 2 cdot 43,4965 + 2 cdot 52,726 + 90,2436) approx 25,56 + 0,1833 cdot (26,717 + 86,993 + 105,452 + 90,2436) approx 25,56 + 0,1833 cdot 309,4056 approx 25,56 + 56,68 approx 82,24
Aplicando a fórmula do RK4:
Então, .

Passo 5

Vamos agora calcular t2 = 2,2, y2 approx 82,24, De usando k1 = f(t2, y2) = (2,2)^2,5 + 82,24 approx 6,685 + 82,24 approx 88,925 . Embora a questão não peça diretamente, esse passo é necessário para chegar a k2 = f(2,2 + 1,12, 82,24 + 1,12 cdot 88,925) = f(2,75, , 82,24 + 48,91375) = f(2,75, 131,15375) = (2,75)^2,5 + 131,15375 approx 13,588 + 131,15375 approx 144,74175 .
k3 = f(2,2 + 1,12, 82,24 + 1,12 cdot 144,74175) = f(2,75, 82,24 + 79,606425) = f(2,75, 161,846425) = (2,75)^2,5 + 161,846425 approx 13,588 + 161,846425 approx 175,434425
Calculando os k4 = f(2,2 + 1,1, 82,24 + 1,1 cdot 175,434425) = f(3,3, 82,24 + 192,9778675) = f(3,3, 275,2178675) = (3,3)^2,5 + 275,2178675 approx 18,996 + 275,2178675 approx 294,2138675 :
y3 = 82,24 + 1,16 (88,925 + 2 cdot 144,74175 + 2 cdot 175,434425 + 294,2138675) approx 82,24 + 0,1833 cdot (88,925 + 289,4835 + 350,86885 + 294,2138675) approx 82,24 + 0,1833 cdot 1023,4912175 approx 82,24 + 187,227 approx 269,47
Aplicando a fórmula do RK4:
Então, .

Passo 6

Finalmente, vamos calcular t3 = 3,3, y3 approx 269,47, De usando k1 = f(t3, y3) = (3,3)^2,5 + 269,47 approx 18,996 + 269,47 approx 288,466 .
k2 = f(3,3 + 1,12, 269,47 + 1,12 cdot 288,466) = f(3,88, , 269,47 + 158,6563) = f(3,88, 428,1263) = (3,88)^2,5 + 428,1263 approx 31,325 + 428,1263 approx 459,4513
Calculando os k3 = f(3,3 + 1,12, 269,47 + 1,12 cdot 459,4513) = f(3,88, 269,47 + 252,17815) = f(3,88, 521,64815) = (3,88)^2,5 + 521,64815 approx 31,325 + 521,64815 approx 552,97315 :
k4 = f(3,3 + 1,1, 269,47 + 1,1 cdot 552,97315) = f(4,4, 269,47 + 608,270465) = f(4,4, 877,740465) = (4,4)^2,5 + 877,740465 approx 39,857 + 877,740465 approx 917,597465
y4 = 269,47 + 1,16 (288,466 + 2 cdot 459,4513 + 2 cdot 552,97315 + 917,597465) approx 269,47 + 0,1833 cdot (288,466 + 918,9026 + 1.105,9463 + 917,597465) approx 269,47 + 0,1833 cdot 3.230,911365 approx 269,47 + 591,052 approx 860,52
Aplicando a fórmula do RK4:
Então, .

Resposta

Os valores aproximados são:
y(2,2) approx 82,24 e y(4,4) approx 860,52

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