Considere os conjuntos A=alpha, B=alpha, beta e C=alpha, alpha. Então, o que se pode afirmar em relação as operações abaixo?
( ) A subset B
( ) emptyset subseteq C
( ) A subseteq C
( ) A subseteq B
( ) A subset C
( ) emptyset notin C

Passo 1

Vamos começar entendendo o que o exercício está pedindo. Temos três conjuntos definidos da seguinte forma:
O objetivo é verificar se as afirmações sobre relações de subconjuntos entre esses conjuntos são verdadeiras ou falsas. Para isso, vamos utilizar os conceitos de subconjunto ( ) e subconjunto próprio ( ), além de verificar a presença do conjunto vazio ( ) em .

Passo 2

Primeira afirmação:
Análise:
  • Subconjunto próprio ( ) significa que todo elemento de está em e que é diferente de .
  • tem apenas o elemento .
  • tem os elementos e .
Conclusão:
Como está em e é diferente de (porque tem extra), a afirmação é verdadeira.

Passo 3

Segunda afirmação:
Análise:
  • O conjunto vazio ( ) é subconjunto de qualquer conjunto, por definição.
  • contém e .
Conclusão:
Sempre que falamos de subconjunto, o conjunto vazio está contido em qualquer conjunto. Portanto, é verdadeira.

Passo 4

Terceira afirmação:
Análise:
  • Subconjunto ( ) significa que todo elemento de está em , podendo ser igual ou não.
  • tem .
  • tem e .
Conclusão:
Como está em , é verdadeira.

Passo 5

Quarta afirmação:
Análise:
  • Essa afirmação é igual à primeira que analisamos.
  • Já verificamos que está contido em .
Conclusão:
Portanto, é verdadeira.

Passo 6

Quinta afirmação:
Análise:
  • Subconjunto próprio ( ) significa que está contido em e que é diferente de .
  • tem .
  • tem e .
Conclusão:
Como está em e tem um elemento extra ( ), a afirmação é verdadeira.

Passo 7

Sexta afirmação:
Análise:
  • Estamos verificando se o conjunto vazio não está dentro de .
  • contém e .
Conclusão:
O conjunto vazio não é um dos elementos de , então é verdadeira.

Resposta

Todas as afirmações são verdadeiras.

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