Mostre que
para todo
natural.
Passo 1
Vamos analisar o problema: precisamos mostrar que
para todo número natural
. Para isso, vamos usar o princípio da indução matemática, que nos ajuda a provar afirmações válidas para todos os números naturais.
Passo 2
Caso Base: Vamos verificar a afirmação para
.
Calculando:
Então,
, o que é verdadeiro.
Passo 3
Hipótese de Indução: Suponha que a afirmação seja verdadeira para algum número natural
, ou seja,
.
Passo 4
Passo Indutivo: Devemos mostrar que, se
, então
.
Calculando:
Pela hipótese de indução, sabemos que
. Então:
Agora, precisamos mostrar que
.
Para
:
Portanto,
, o que implica que
.
Resposta
Concluímos que
para todo número natural
.