Mostre que 2^n>n para todo n natural.

Passo 1

Vamos analisar o problema: precisamos mostrar que para todo número natural . Para isso, vamos usar o princípio da indução matemática, que nos ajuda a provar afirmações válidas para todos os números naturais.

Passo 2

Caso Base: Vamos verificar a afirmação para 2^1 = 2 e 1 = 1 .
Calculando:
Então, , o que é verdadeiro.

Passo 3

Hipótese de Indução: Suponha que a afirmação seja verdadeira para algum número natural , ou seja, .

Passo 4

Passo Indutivo: Devemos mostrar que, se 2^k+1 = 2 times 2^k , então 2^k+1 = 2 times 2^k > 2 times k .
Calculando:
2k - (k + 1) = k - 1 >= 0 quando k >= 1
Pela hipótese de indução, sabemos que . Então:
Agora, precisamos mostrar que .
Para :
Portanto, , o que implica que .

Resposta

Concluímos que para todo número natural .

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