Considere os conjuntos
e
. Analise as afirmações a seguir e julgue quais são verdadeiras ou falsas. Não esqueça de justificar cada resposta.
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Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de teoria dos conjuntos! Temos os conjuntos
,
e
. A matéria que estamos mexendo aqui é sobre subconjuntos e elementos dos conjuntos. Para resolver, vamos precisar entender a diferença entre
(subconjunto) e
(pertence a).
Passo 2
Primeira afirmação:
.
Isso quer dizer que todo elemento de
está também em
. Como
e
, o único elemento de
é 1, que está mesmo em
. Então, essa afirmação é verdadeira.
Passo 3
Segunda afirmação:
.
Aqui, estamos perguntando se
(que é
) é um elemento de
. Olhando
, vemos que
está dentro de
. Então,
está em
. Portanto, essa afirmação é verdadeira.
Passo 4
Terceira afirmação:
.
A afirmativa diz que o conjunto vazio não está em
. Olhando
, não há o conjunto vazio lá. Então, de fato,
não está em
. Assim, essa afirmação é verdadeira.
Passo 5
Quarta afirmação:
.
Isso significa que o conjunto vazio é um subconjunto de
. Lembre-se que o conjunto vazio é subconjunto de qualquer conjunto, porque não há elementos em
que precisem estar em
. Então, essa afirmação é verdadeira.
Passo 6
Quinta afirmação:
.
Aqui, estamos verificando se todo elemento de
está em
.
e
. O número 1 está em
, então sim,
é subconjunto de
. Portanto, essa afirmação é verdadeira.
Passo 7
Sexta afirmação:
.
Isso quer dizer que
e
têm exatamente os mesmos elementos. Mas
e
, então
tem um elemento a mais. Logo, essa afirmação é falsa.
Passo 8
Sétima afirmação:
e
.
Primeiro, já vimos que
é verdadeira. Agora, vamos ver se
.
e
. Claramente, eles têm elementos diferentes (um tem um conjunto dentro). Então,
não é igual a
. Portanto, a parte
é falsa.
Passo 9
Oitava afirmação:
.
Isso significa que
é um subconjunto próprio de
, ou seja,
e
. Já vimos que
é verdadeira e que
é diferente de
. Logo, essa afirmação é verdadeira.
Passo 10
Nona afirmação:
.
Aqui, estamos vendo se
(que é
) está dentro de
. Mas
só tem números, nenhum conjunto. Então,
não está em
. Portanto, essa afirmação é falsa.
Passo 11
Décima afirmação:
.
Isso pergunta se o número 1 pertence a
. Como
, sim, 1 está em
. Então, essa afirmação é verdadeira.
Passo 12
Décima primeira afirmação:
.
Aqui, estamos vendo se o conjunto
está dentro de
. Mas
só tem o número 1, não o conjunto
. Então, essa afirmação é falsa.
Passo 13
Décima segunda afirmação:
.
Isso pergunta se o conjunto
está dentro de
. Sim,
está mesmo em
. Portanto, essa afirmação é verdadeira.
Passo 14
Décima terceira afirmação:
.
Aqui, estamos vendo se o número 1 pertence a
. Sim, o 1 está incluído em
. Então, essa afirmação é verdadeira.
Resposta
Resumindo as análises:
-
Verdadeira -
Verdadeira -
Verdadeira -
Verdadeira -
Verdadeira -
Falsa -
Verdadeira e Falsa -
Verdadeira -
Falsa -
Verdadeira -
Falsa -
Verdadeira -
Verdadeira
Exercícios relacionados
Quais são TODOS os subconjuntos dos seguintes conjuntos:
a)
b)
a)
b)
Considere os conjuntos
e
. Então, o que se pode afirmar em relação as operações abaixo?
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Sejam
e
. Justifique a afirmação a seguir:
O conjunto vazio está contido em qualquer conjunto (inclusive nele próprio)? Justifique sua resposta.