Considere os conjuntos e . Analise as afirmações a seguir e julgue quais são verdadeiras ou falsas. Não esqueça de justificar cada resposta.
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Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de teoria dos conjuntos! Temos os conjuntos , e . A matéria que estamos mexendo aqui é sobre subconjuntos e elementos dos conjuntos. Para resolver, vamos precisar entender a diferença entre (subconjunto) e (pertence a).

Passo 2

Primeira afirmação: .
Isso quer dizer que todo elemento de está também em . Como e , o único elemento de é 1, que está mesmo em . Então, essa afirmação é verdadeira.

Passo 3

Segunda afirmação: .
Aqui, estamos perguntando se (que é ) é um elemento de . Olhando , vemos que está dentro de . Então, está em . Portanto, essa afirmação é verdadeira.

Passo 4

Terceira afirmação: .
A afirmativa diz que o conjunto vazio não está em . Olhando , não há o conjunto vazio lá. Então, de fato, não está em . Assim, essa afirmação é verdadeira.

Passo 5

Quarta afirmação: .
Isso significa que o conjunto vazio é um subconjunto de . Lembre-se que o conjunto vazio é subconjunto de qualquer conjunto, porque não há elementos em que precisem estar em . Então, essa afirmação é verdadeira.

Passo 6

Quinta afirmação: .
Aqui, estamos verificando se todo elemento de está em . e . O número 1 está em , então sim, é subconjunto de . Portanto, essa afirmação é verdadeira.

Passo 7

Sexta afirmação: .
Isso quer dizer que e têm exatamente os mesmos elementos. Mas e , então tem um elemento a mais. Logo, essa afirmação é falsa.

Passo 8

Sétima afirmação: e .
Primeiro, já vimos que é verdadeira. Agora, vamos ver se . e . Claramente, eles têm elementos diferentes (um tem um conjunto dentro). Então, não é igual a . Portanto, a parte é falsa.

Passo 9

Oitava afirmação: .
Isso significa que é um subconjunto próprio de , ou seja, e . Já vimos que é verdadeira e que é diferente de . Logo, essa afirmação é verdadeira.

Passo 10

Nona afirmação: .
Aqui, estamos vendo se (que é ) está dentro de . Mas só tem números, nenhum conjunto. Então, não está em . Portanto, essa afirmação é falsa.

Passo 11

Décima afirmação: .
Isso pergunta se o número 1 pertence a . Como , sim, 1 está em . Então, essa afirmação é verdadeira.

Passo 12

Décima primeira afirmação: .
Aqui, estamos vendo se o conjunto está dentro de . Mas só tem o número 1, não o conjunto . Então, essa afirmação é falsa.

Passo 13

Décima segunda afirmação: .
Isso pergunta se o conjunto está dentro de . Sim, está mesmo em . Portanto, essa afirmação é verdadeira.

Passo 14

Décima terceira afirmação: .
Aqui, estamos vendo se o número 1 pertence a . Sim, o 1 está incluído em . Então, essa afirmação é verdadeira.

Resposta

Resumindo as análises:
  1. Verdadeira
  2. Verdadeira
  3. Verdadeira
  4. Verdadeira
  5. Verdadeira
  6. Falsa
  7. Verdadeira e Falsa
  8. Verdadeira
  9. Falsa
  10. Verdadeira
  11. Falsa
  12. Verdadeira
  13. Verdadeira

Exercícios relacionados

Quais são TODOS os subconjuntos dos seguintes conjuntos:
a)
b)
Considere os conjuntos e . Então, o que se pode afirmar em relação as operações abaixo?
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Sejam e . Justifique a afirmação a seguir:
O conjunto vazio está contido em qualquer conjunto (inclusive nele próprio)? Justifique sua resposta.