Resolver o problema usando os métodos da Bisseção, Cordas e Newton-Raphson. Quando necessário, adote valores para o intervalo inicial e para a estimativa inicial. Também assuma um valor para a precisão mínima desejada. Na resolução manual considere no máximo 5 iterações. Use o VCN para fazer a comparação dos resultados. Faça gráficos para verificar o comportamento da solução deste problema. Apresente a resolução da questão em um relatório.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O problema pede para encontrar as raízes de uma função usando três métodos diferentes: Bisseção, Cordas (também conhecido como Método da Secante) e Newton-Raphson. Esses métodos são parte da matéria de Métodos Numéricos, que ajudam a resolver equações quando não conseguimos encontrar a solução de forma exata. Para isso, vamos precisar escolher uma função para trabalhar, definir intervalos iniciais ou estimativas e estabelecer uma precisão mínima para nossos cálculos. Vamos resolver manualmente até 5 iterações e comparar os resultados usando o VCN (Valor das Raízes Encontradas). No final, vamos fazer gráficos para ver como cada método se comporta.

Passo 2

Primeiro, precisamos escolher uma função para encontrar suas raízes. Vamos usar como exemplo a função:
f(x) = x^3 - x - 2
Queremos encontrar o valor de que faz .

Passo 3

Método da Bisseção: Esse método funciona escolhendo um intervalo c = a + b2 = 1 + 22 = 1.5 onde a função muda de sinal, ou seja, c = 1.5 + 22 = 1.75 e f(1.75) = 5.359375 - 1.75 - 2 = 1.609375 têm sinais opostos. Isso garante, pelo Teorema do Valor Intermediário, que existe pelo menos uma raiz nesse intervalo.
Vamos escolher c = 1.5 + 1.752 = 1.625 e f(1.625) = 4.287109375 - 1.625 - 2 = 0.662109375 :
  • c = 1.5 + 1.6252 = 1.5625
  • f(1.5625) = 3.814697266 - 1.5625 - 2 = 0.252197266
Como c = 1.5 + 1.56252 = 1.53125 é negativo e f(1.53125) = 3.586425781 - 1.53125 - 2 = 0.055175781 é positivo, sabemos que existe uma raiz entre 1 e 2.
Iteração 1:
Calculamos o ponto médio:
Agora, calculamos . Como é negativo, a raiz está entre e .
Iteração 2:
Agora, é positivo, então a raiz está entre e .
Iteração 3:
Como é positivo, a raiz está entre e .
Iteração 4:
A raiz está entre e .
Iteração 5:
Após 5 iterações, temos uma aproximação da raiz em .

Passo 4

Método das Cordas (Secante): Esse método usa duas estimativas iniciais próximas da raiz e calcula uma nova estimativa usando a fórmula:
xn+1 = xn - f(xn) cdot xn - xn-1f(xn) - f(xn-1)
Vamos escolher x2 = 2 - f(2) cdot 2 - 1f(2) - f(1) = 2 - 4 cdot 14 - (-2) = 2 - 46 = 2 - 0.6667 = 1.3333 e x3 = 1.3333 - f(1.3333) cdot 1.3333 - 2f(1.3333) - f(2) .
Iteração 1:
x3 = 1.3333 - (-0.963) cdot -0.6667-0.963 - 4 = 1.3333 - (-0.963) cdot -0.6667-4.963 approx 1.5
Iteração 2:
f(1.5) = -0.125
Calculando ( f(1.3333) = 2.3704 - 1.3333 - 2 = -0.963
x4 = 1.5 - (-0.125) cdot 1.5 - 1.3333-0.125 - (-0.963) approx 1.5 - (-0.125) cdot 0.16670.838 approx 1.521
Iteração 3:
Usando x5 = 1.521 - 0.027 cdot 1.521 - 1.50.027 - (-0.125) approx 1.521 - 0.027 cdot 0.0210.152 approx 1.521 - 0.0037 = 1.517 e :
Iteração 4:
Usando e :
Calculando
Após 5 iterações, a aproximação da raiz é .

Passo 5

Método de Newton-Raphson: Esse método utiliza a fórmula:
xn+1 = xn - f(xn)f'(xn)
Primeiro, precisamos calcular a derivada da função:
f'(x) = 3x^2 - 1
Vamos escolher f(1.5) = -0.125 .
Iteração 1:
f'(1.5) = 3(2.25) - 1 = 6.75 - 1 = 5.75
x1 = 1.5 - -0.1255.75 approx 1.5 + 0.0217 = 1.5217
f(1.5217) approx 0.027
Iteração 2:
f'(1.5217) = 3(2.316) - 1 approx 6.948 - 1 = 5.948
x2 = 1.5217 - 0.0275.948 approx 1.5217 - 0.0045 = 1.5172
f(1.5172) approx 0.0005
Iteração 3:
f'(1.5172) approx 5.886
x3 = 1.5172 - 0.00055.886 approx 1.5172 - 0.000085 = 1.5171
Após 5 iterações, a aproximação da raiz é .

Resposta

Após aplicar os três métodos, as aproximações da raiz da função são:
  • Bisseção:
  • Cordas (Secante):
  • Newton-Raphson:
Os métodos das Cordas e Newton-Raphson convergiram para o mesmo valor com maior precisão em menos iterações, enquanto o método da Bisseção foi um pouco menos preciso com as mesmas iterações. Os gráficos mostram que todas as metodologias convergem para a raiz próxima a , confirmando a eficácia dos métodos numéricos na resolução de equações quando abordagens analíticas não são práticas.

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