Resolver o problema usando os métodos da Bisseção, Cordas e Newton-Raphson. Quando necessário, adote valores para o intervalo inicial e para a estimativa inicial. Também assuma um valor para a precisão mínima desejada. Na resolução manual considere no máximo 5 iterações. Use o VCN para fazer a comparação dos resultados. Faça gráficos para verificar o comportamento da solução deste problema. Apresente a resolução da questão em um relatório.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O problema pede para encontrar as raízes de uma função usando três métodos diferentes: Bisseção, Cordas (também conhecido como Método da Secante) e Newton-Raphson. Esses métodos são parte da matéria de Métodos Numéricos, que ajudam a resolver equações quando não conseguimos encontrar a solução de forma exata. Para isso, vamos precisar escolher uma função para trabalhar, definir intervalos iniciais ou estimativas e estabelecer uma precisão mínima para nossos cálculos. Vamos resolver manualmente até 5 iterações e comparar os resultados usando o VCN (Valor das Raízes Encontradas). No final, vamos fazer gráficos para ver como cada método se comporta.
Passo 2
Primeiro, precisamos escolher uma função para encontrar suas raízes. Vamos usar como exemplo a função:
Queremos encontrar o valor de
que faz
.
Passo 3
Método da Bisseção: Esse método funciona escolhendo um intervalo
onde a função muda de sinal, ou seja,
e
têm sinais opostos. Isso garante, pelo Teorema do Valor Intermediário, que existe pelo menos uma raiz nesse intervalo.
Vamos escolher
e
:
Como
é negativo e
é positivo, sabemos que existe uma raiz entre 1 e 2.
Iteração 1:
Calculamos o ponto médio:
Calculamos o ponto médio:
Agora, calculamos
. Como
é negativo, a raiz está entre
e
.
Iteração 2:
Agora,
é positivo, então a raiz está entre
e
.
Iteração 3:
Como
é positivo, a raiz está entre
e
.
Iteração 4:
A raiz está entre
e
.
Iteração 5:
Após 5 iterações, temos uma aproximação da raiz em
.
Passo 4
Método das Cordas (Secante): Esse método usa duas estimativas iniciais próximas da raiz e calcula uma nova estimativa usando a fórmula:
Vamos escolher
e
.
Iteração 1:
Iteração 2:
Calculando ( f(1.3333) = 2.3704 - 1.3333 - 2 = -0.963
Iteração 3:
Usando e
:
Usando
Iteração 4:
Usando e
:
Calculando
Usando
Calculando
Após 5 iterações, a aproximação da raiz é
.
Passo 5
Método de Newton-Raphson: Esse método utiliza a fórmula:
Primeiro, precisamos calcular a derivada da função:
Vamos escolher
.
Iteração 1:
Iteração 2:
Iteração 3:
Após 5 iterações, a aproximação da raiz é
.
Resposta
Após aplicar os três métodos, as aproximações da raiz da função
são:
- Bisseção:
- Cordas (Secante):
- Newton-Raphson:
Os métodos das Cordas e Newton-Raphson convergiram para o mesmo valor com maior precisão em menos iterações, enquanto o método da Bisseção foi um pouco menos preciso com as mesmas iterações. Os gráficos mostram que todas as metodologias convergem para a raiz próxima a
, confirmando a eficácia dos métodos numéricos na resolução de equações quando abordagens analíticas não são práticas.
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)
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