Considere uma corda fixa em x=0 e x=L cujo deslocamento obedece à relação partial^2 psi(x, t)partial x^2=1v^2 partial^2 psi(x, t)partial t^2.
Assumindo que psi(x, t)=F(t) psi(x), encontre as equações obedecidas por F e por psi(x) e verifique que uma corda que começa a oscilar no estado psi(x, 0)=A sin n pi xL evolui no tempo como psi(x, t)=A sin n pi xL cos n pi v tL.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão trata do movimento de uma corda fixa nas pontas em e . A equação que descreve o deslocamento dessa corda ao longo do tempo é uma equação de onda parcial. Vamos usar a técnica de separação de variáveis, assumindo que o deslocamento pode ser escrito como o produto de uma função que depende só do tempo, , e outra que depende só da posição, . Para resolver, vamos precisar entender um pouco sobre equações diferenciais e como separar variáveis.

Passo 2

Primeiro, começamos com a equação dada:
partial^2 psi(x, t)partial x^2 = 1v^2 partial^2 psi(x, t)partial t^2
Como estamos assumindo que , vamos substituir isso na equação.

Passo 3

Substituindo partial^2 (F(t) psi(x))partial x^2 = 1v^2 partial^2 (F(t) psi(x))partial t^2 na equação de onda, temos:
F(t) d^2 psi(x)dx^2 = 1v^2 psi(x) d^2 F(t)dt^2
Isso simplifica para:

Passo 4

Agora, vamos dividir ambos os lados por 1psi(x) d^2 psi(x)dx^2 = 1v^2 F(t) d^2 F(t)dt^2 :
Vemos que o lado esquerdo depende só de e o direito só de . Para que essa igualdade seja verdadeira para todos os e , ambos os lados devem ser iguais a uma constante. Vamos chamar essa constante de .

Passo 5

Agora temos duas equações separadas:
  1. Para d^2 psi(x)dx^2 + lambda psi(x) = 0 :
d^2 F(t)dt^2 + lambda v^2 F(t) = 0
  1. Para :
Essas são equações diferenciais ordinárias que podemos resolver individualmente.

Passo 6

Vamos resolver a equação para d^2 psi(x)dx^2 + lambda psi(x) = 0 :
psi(x) = A sin(raizlambda x) + B cos(raizlambda x)
A solução geral dessa equação é:
Como a corda é fixa em e , aplicamos as condições de contorno.

Passo 7

Aplicando 0 = A sin(0) + B cos(0) Rightarrow B = 0 :
psi(x) = A sin(raizlambda x)
Então, a solução simplifica para:
0 = A sin(raizlambda L)
Aplicando :
Para que isso seja verdadeiro (com ), devemos ter , onde é um número inteiro positivo.

Passo 8

Assim, obtemos:
lambda = (npiL)^2
E a função espacial fica:
psi(x) = A sin(npi xL)

Passo 9

Agora, resolvemos a equação para d^2 F(t)dt^2 + lambda v^2 F(t) = 0 :
d^2 F(t)dt^2 + (npi vL)^2 F(t) = 0
Substituindo F(t) = C cos(npi v tL) + D sin(npi v tL) :
A solução geral dessa equação é:

Passo 10

Como estamos considerando que a corda começa a oscilar a partir de F(t) = C cos(npi v tL) com psi(x, t) = A sin(npi xL) cos(npi v tL) e sem velocidade inicial, isso implica que . Portanto, a solução para é:
Agora, combinando com , temos:

Resposta

A evolução do deslocamento da corda no tempo é dada por
psi(x, t) = A sin(npi xL) cos(npi v tL)

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