Considere uma corda fixa em
e
cujo deslocamento obedece à relação
.
Assumindo que
, encontre as equações obedecidas por F e por
e verifique que uma corda que começa a oscilar no estado
evolui no tempo como
.
Assumindo que
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão trata do movimento de uma corda fixa nas pontas em
e
. A equação que descreve o deslocamento dessa corda ao longo do tempo é uma equação de onda parcial. Vamos usar a técnica de separação de variáveis, assumindo que o deslocamento pode ser escrito como o produto de uma função que depende só do tempo,
, e outra que depende só da posição,
. Para resolver, vamos precisar entender um pouco sobre equações diferenciais e como separar variáveis.
Passo 2
Primeiro, começamos com a equação dada:
Como estamos assumindo que
, vamos substituir isso na equação.
Passo 3
Substituindo
na equação de onda, temos:
Isso simplifica para:
Passo 4
Agora, vamos dividir ambos os lados por
:
Vemos que o lado esquerdo depende só de
e o direito só de
. Para que essa igualdade seja verdadeira para todos os
e
, ambos os lados devem ser iguais a uma constante. Vamos chamar essa constante de
.
Passo 5
Agora temos duas equações separadas:
- Para
:
- Para
:
Essas são equações diferenciais ordinárias que podemos resolver individualmente.
Passo 6
Vamos resolver a equação para
:
A solução geral dessa equação é:
Como a corda é fixa em
e
, aplicamos as condições de contorno.
Passo 7
Aplicando
:
Então, a solução simplifica para:
Aplicando
:
Para que isso seja verdadeiro (com
), devemos ter
, onde
é um número inteiro positivo.
Passo 8
Assim, obtemos:
E a função espacial fica:
Passo 9
Agora, resolvemos a equação para
:
Substituindo
:
A solução geral dessa equação é:
Passo 10
Como estamos considerando que a corda começa a oscilar a partir de
com
e sem velocidade inicial, isso implica que
. Portanto, a solução para
é:
Agora, combinando
com
, temos:
Resposta
A evolução do deslocamento da corda no tempo é dada por