Escreva duas funções de onda não normalizadas e fisicamente distintas (ou seja, que não sejam múltiplas uma da outra) que descreva uma partícula em uma caixa que tenha
de chance de estar no estado
e
de chance de estar no estado
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para escrever duas funções de onda não normalizadas e diferentes fisicamente para uma partícula em uma caixa. Essas funções devem refletir que a partícula tem 1/3 de chance de estar no estado
e 2/3 de chance de estar no estado
. Para resolver isso, vamos usar a teoria das funções de onda estacionárias na caixa e combinar os estados
e
com os coeficientes apropriados.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que as funções de onda para uma partícula em uma caixa de comprimento
são dadas por:
onde
é o número quântico do estado.
Passo 3
Como queremos uma superposição dos estados
e
, a função de onda geral será:
onde
e
são os coeficientes complexos que determinam as probabilidades dos estados.
Passo 4
A probabilidade de encontrar a partícula em cada estado é dada pelo quadrado do módulo dos coeficientes:
Isso significa que
pode ser
e
pode ser
, assumindo que os coeficientes são reais para simplificar.
Passo 5
Portanto, uma das funções de onda não normalizadas é:
E para garantir que sejam fisicamente distintas e não múltiplas uma da outra, podemos mudar o sinal de um dos coeficientes. Assim, a segunda função de onda é:
Resposta
Duas funções de onda não normalizadas e fisicamente distintas que satisfazem as condições são:
e
Exercícios relacionados
Para uma variável V que pode assumir N valores
, com probabilidades
, o valor médio é definido por
.
Se a variável for contínua como x, a soma é substituída por uma integral. Então você não deverá se surpreender se a média sobre x no estado for definida por
e a média sobre por
.
(I) Encontre e
para uma partícula de massa m que está no estado fundamental de uma caixa de comprimento
. Faça uso de argumentos de simetria para encontrar
, ao invés de fazer as integrais.
A definição técnica de incerteza é
.
Quanto é para o estado fundamental de uma caixa?
(II) Afirma-se que para qualquer estado , o momento médio é
Mostre que esta relação se reduz a
no caso de e de forma similar para
, colocando-se estas duas somas na integral acima. Dica: Ortonormalidade.
Se a variável for contínua como x, a soma é substituída por uma integral. Então você não deverá se surpreender se a média sobre x no estado
e a média sobre
(I) Encontre
A definição técnica de incerteza é
Quanto é
(II) Afirma-se que para qualquer estado
Mostre que esta relação se reduz a
no caso de
Qual a concentração de
de solução
de
?
para
a)
a)
Considere uma partícula livre
movendo-se em um anel de circunferência L. Define-se
como sendo os estados normalizados de momento
.
(l) Mostre que também é um estado com energia definida. Encontre esta energia mostrando que eles satisfazem a equação
onde (em geral)
.
(II) Dado que , normalize esse estado. Encontre
.
(l) Mostre que
(II) Dado que
Considere uma corda fixa em
e
cujo deslocamento obedece à relação
.
Assumindo que , encontre as equações obedecidas por F e por
e verifique que uma corda que começa a oscilar no estado
evolui no tempo como
.
Assumindo que