Escreva duas funções de onda não normalizadas e fisicamente distintas (ou seja, que não sejam múltiplas uma da outra) que descreva uma partícula em uma caixa que tenha 1 / 3 de chance de estar no estado n=2 e 2 / 3 de chance de estar no estado n=3.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para escrever duas funções de onda não normalizadas e diferentes fisicamente para uma partícula em uma caixa. Essas funções devem refletir que a partícula tem 1/3 de chance de estar no estado e 2/3 de chance de estar no estado . Para resolver isso, vamos usar a teoria das funções de onda estacionárias na caixa e combinar os estados e com os coeficientes apropriados.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que as funções de onda para uma partícula em uma caixa de comprimento psin(x) = raiz2L sin(npi xL) são dadas por:
onde é o número quântico do estado.

Passo 3

Como queremos uma superposição dos estados Psi(x) = c2 psi2(x) + c3 psi3(x) e , a função de onda geral será:
onde e são os coeficientes complexos que determinam as probabilidades dos estados.

Passo 4

A probabilidade de encontrar a partícula em cada estado é dada pelo quadrado do módulo dos coeficientes:
|c2|^2 = 13 e |c3|^2 = 23
Isso significa que pode ser e pode ser , assumindo que os coeficientes são reais para simplificar.

Passo 5

Portanto, uma das funções de onda não normalizadas é:
Psi1(x) = 1raiz3 psi2(x) + raiz23 psi3(x)
E para garantir que sejam fisicamente distintas e não múltiplas uma da outra, podemos mudar o sinal de um dos coeficientes. Assim, a segunda função de onda é:
Psi2(x) = 1raiz3 psi2(x) - raiz23 psi3(x)

Resposta

Duas funções de onda não normalizadas e fisicamente distintas que satisfazem as condições são:
Psi1(x) = 1raiz3 raiz2L sin(2pi xL) + raiz23 raiz2L sin(3pi xL)
e
Psi2(x) = 1raiz3 raiz2L sin(2pi xL) - raiz23 raiz2L sin(3pi xL)

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