Escreva duas funções de onda não normalizadas e fisicamente distintas (ou seja, que não sejam múltiplas uma da outra) que descreva uma partícula em uma caixa que tenha de chance de estar no estado e de chance de estar no estado .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para escrever duas funções de onda não normalizadas e diferentes fisicamente para uma partícula em uma caixa. Essas funções devem refletir que a partícula tem 1/3 de chance de estar no estado e 2/3 de chance de estar no estado . Para resolver isso, vamos usar a teoria das funções de onda estacionárias na caixa e combinar os estados e com os coeficientes apropriados.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que as funções de onda para uma partícula em uma caixa de comprimento são dadas por:
onde é o número quântico do estado.

Passo 3

Como queremos uma superposição dos estados e , a função de onda geral será:
onde e são os coeficientes complexos que determinam as probabilidades dos estados.

Passo 4

A probabilidade de encontrar a partícula em cada estado é dada pelo quadrado do módulo dos coeficientes:
Isso significa que pode ser e pode ser , assumindo que os coeficientes são reais para simplificar.

Passo 5

Portanto, uma das funções de onda não normalizadas é:
E para garantir que sejam fisicamente distintas e não múltiplas uma da outra, podemos mudar o sinal de um dos coeficientes. Assim, a segunda função de onda é:

Resposta

Duas funções de onda não normalizadas e fisicamente distintas que satisfazem as condições são:
e

Exercícios relacionados

Para uma variável V que pode assumir N valores , com probabilidades , o valor médio é definido por
.
Se a variável for contínua como x, a soma é substituída por uma integral. Então você não deverá se surpreender se a média sobre x no estado for definida por

e a média sobre por
.
(I) Encontre e para uma partícula de massa m que está no estado fundamental de uma caixa de comprimento . Faça uso de argumentos de simetria para encontrar , ao invés de fazer as integrais.
A definição técnica de incerteza é
.
Quanto é para o estado fundamental de uma caixa?
(II) Afirma-se que para qualquer estado , o momento médio é

Mostre que esta relação se reduz a

no caso de e de forma similar para , colocando-se estas duas somas na integral acima. Dica: Ortonormalidade.
Qual a concentração de de solução de ? para
a)
Considere uma partícula livre movendo-se em um anel de circunferência L. Define-se como sendo os estados normalizados de momento .
(l) Mostre que também é um estado com energia definida. Encontre esta energia mostrando que eles satisfazem a equação onde (em geral)
.
(II) Dado que , normalize esse estado. Encontre .
Considere uma corda fixa em e cujo deslocamento obedece à relação .
Assumindo que , encontre as equações obedecidas por F e por e verifique que uma corda que começa a oscilar no estado evolui no tempo como .