Um próton no LHC tem energia de
. Qual o seu comprimento de onda de de Broglie? Fazendo uso de
, primeiro justifique porque o termo de massa pode ser desprezado. Qual será o comprimento de onda de um fóton de mesma energia?
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem um próton no LHC com energia de
e precisa descobrir o comprimento de onda de de Broglie dele. Além disso, queremos ver o comprimento de onda de um fóton que tenha a mesma energia. Para isso, vamos usar a matéria de mecânica quântica, especificamente a relação de de Broglie e a equação relativística da energia. Vamos precisar lembrar das fórmulas para energia relativística e para o comprimento de onda de de Broglie.
Passo 2
Primeiro, vamos justificar por que podemos desprezar o termo da massa na equação da energia relativística:
O próton tem uma energia muito alta (
), que é muito maior que sua energia de repouso (
). Quando a energia total
é muito maior que
, o termo
domina e podemos simplificar para:
Isso facilita nossos cálculos porque podemos relacionar diretamente energia e momento.
Passo 3
Agora, vamos calcular o momento
do próton usando a aproximação
:
Substituindo os valores:
Passo 4
Com o momento
calculado, podemos usar a relação de de Broglie para encontrar o comprimento de onda
:
Onde
é a constante de Planck (
).
Substituindo os valores:
Passo 5
Agora, vamos encontrar o comprimento de onda de um fóton com a mesma energia de
. Para fótons, a relação de energia é direta:
Rearranjando para
:
Usando os mesmos valores de
,
e
:
Resposta
O comprimento de onda de de Broglie do próton é aproximadamente
e o comprimento de onda de um fóton com a mesma energia também é
.
Exercícios relacionados
Considere uma corda fixa em
e
cujo deslocamento obedece à relação
.
Assumindo que , encontre as equações obedecidas por F e por
e verifique que uma corda que começa a oscilar no estado
evolui no tempo como
.
Assumindo que
Considere uma partícula livre
movendo-se em um anel de circunferência L. Define-se
como sendo os estados normalizados de momento
.
(l) Mostre que também é um estado com energia definida. Encontre esta energia mostrando que eles satisfazem a equação
onde (em geral)
.
(II) Dado que , normalize esse estado. Encontre
.
(l) Mostre que
(II) Dado que
Quanto é
, a probabilidade da partícula estar em alguma posição com
?
Se
é obtido em um experimento, qual é
, normalizada, imediatamente após o experimento?