Um próton no LHC tem energia de . Qual o seu comprimento de onda de de Broglie? Fazendo uso de , primeiro justifique porque o termo de massa pode ser desprezado. Qual será o comprimento de onda de um fóton de mesma energia?

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem um próton no LHC com energia de e precisa descobrir o comprimento de onda de de Broglie dele. Além disso, queremos ver o comprimento de onda de um fóton que tenha a mesma energia. Para isso, vamos usar a matéria de mecânica quântica, especificamente a relação de de Broglie e a equação relativística da energia. Vamos precisar lembrar das fórmulas para energia relativística e para o comprimento de onda de de Broglie.

Passo 2

Primeiro, vamos justificar por que podemos desprezar o termo da massa na equação da energia relativística:
O próton tem uma energia muito alta ( ), que é muito maior que sua energia de repouso ( ). Quando a energia total é muito maior que , o termo domina e podemos simplificar para:
Isso facilita nossos cálculos porque podemos relacionar diretamente energia e momento.

Passo 3

Agora, vamos calcular o momento do próton usando a aproximação :
Substituindo os valores:

Passo 4

Com o momento calculado, podemos usar a relação de de Broglie para encontrar o comprimento de onda :
Onde é a constante de Planck ( ).
Substituindo os valores:

Passo 5

Agora, vamos encontrar o comprimento de onda de um fóton com a mesma energia de . Para fótons, a relação de energia é direta:
Rearranjando para :
Usando os mesmos valores de , e :

Resposta

O comprimento de onda de de Broglie do próton é aproximadamente e o comprimento de onda de um fóton com a mesma energia também é .

Exercícios relacionados

Considere uma corda fixa em e cujo deslocamento obedece à relação .
Assumindo que , encontre as equações obedecidas por F e por e verifique que uma corda que começa a oscilar no estado evolui no tempo como .
Considere uma partícula livre movendo-se em um anel de circunferência L. Define-se como sendo os estados normalizados de momento .
(l) Mostre que também é um estado com energia definida. Encontre esta energia mostrando que eles satisfazem a equação onde (em geral)
.
(II) Dado que , normalize esse estado. Encontre .
Quanto é , a probabilidade da partícula estar em alguma posição com ?
Se é obtido em um experimento, qual é , normalizada, imediatamente após o experimento?