Um próton no LHC tem energia de 3,5 T eV. Qual o seu comprimento de onda de de Broglie? Fazendo uso de E^2=p^2 c^2+m^2 c^4, primeiro justifique porque o termo de massa pode ser desprezado. Qual será o comprimento de onda de um fóton de mesma energia?

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem um próton no LHC com energia de e precisa descobrir o comprimento de onda de de Broglie dele. Além disso, queremos ver o comprimento de onda de um fóton que tenha a mesma energia. Para isso, vamos usar a matéria de mecânica quântica, especificamente a relação de de Broglie e a equação relativística da energia. Vamos precisar lembrar das fórmulas para energia relativística e para o comprimento de onda de de Broglie.

Passo 2

Primeiro, vamos justificar por que podemos desprezar o termo da massa na equação da energia relativística:
E^2 = p^2 c^2 + m^2 c^4
O próton tem uma energia muito alta ( E approx p c ), que é muito maior que sua energia de repouso ( ). Quando a energia total é muito maior que , o termo domina e podemos simplificar para:
Isso facilita nossos cálculos porque podemos relacionar diretamente energia e momento.

Passo 3

Agora, vamos calcular o momento p = Ec do próton usando a aproximação E = 3,5 , TeV = 3,5 times 10^3 , GeV = 3,5 times 10^3 times 1,602 times 10^-19 , J approx 5,607 times 10^-16 , J :
c = 3,0 times 10^8 , m/s
Substituindo os valores:
p = 5,607 times 10^-16 , J3,0 times 10^8 , m/s approx 1,869 times 10^-24 , kg·m/s

Passo 4

Com o momento lambda = hp calculado, podemos usar a relação de de Broglie para encontrar o comprimento de onda lambda = 6,626 times 10^-34 , J·s1,869 times 10^-24 , kg·m/s approx 3,55 times 10^-10 , m = 0,355 , nm :
Onde é a constante de Planck ( ).
Substituindo os valores:

Passo 5

Agora, vamos encontrar o comprimento de onda de um fóton com a mesma energia de E = h f = h clambda . Para fótons, a relação de energia é direta:
lambda = h cE
Rearranjando para lambda = 6,626 times 10^-34 , J·s times 3,0 times 10^8 , m/s5,607 times 10^-16 , J approx 3,55 times 10^-10 , m = 0,355 , nm :
Usando os mesmos valores de , e :

Resposta

O comprimento de onda de de Broglie do próton é aproximadamente e o comprimento de onda de um fóton com a mesma energia também é .

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